SPE TES

• Dans un jeu, le joueur doit tirer une carte d'un jeu de 32 cartes. S'il obtient une carte de carreau il tire successiveent sans remis trois boules de l'urne U_{1 ,} qui contient 5 boules vertes et 15 boules rouges. Sinon il tire deux boules simultanément de l'urne U₂qui contient 12 boules vertes et 8 boules rouges. Le joueur gagne une peluche quand il a obtenu des boules rouges seulement.

• • Faire un arbre.

• • Quelle est la probabilité de l'événement G:" Le joueur gagne" ?

Il y a une situation d'équiprobabilité lors du tirage de la carte comme

lors du tirage des boules dans les urnes

Soit A l'événement :

" Obtenir un arrangement de trois boules rouges de U₁ ".

Card( A ) = A ₁₅³ Card( Ω ) = A₂₀³ P( A ) = Card( A ) / Card ( Ω )

Donc P( A ) = A ₁₅³/ A₂₀³

Soit B l'événement :

" Obtenir une combinaison de deux boules rouges de U₂ ".

Card( B ) =C ₈² Card( Ω ' ) = C ₂₀² P( B ) = Card( B ) / Card( Ω' )

Donc P( B ) = C ₈² / C ₂₀²

• Soit U₁ l'événement " Avoir obtenu une carte de carreau"

P( U₁ ) = 8 / 32

Soit U₂ l'événement " Ne pas avoir obtenu une carte de carreau"

P( U₂) = 24 / 32

Soit R l'événement " les boules sont rouges"

G = ( U₁ ∩ R ) U ( U₂ ∩ R ) ( Réunion de deux événements incompatibles )

Donc P( G ) = P( U₁ ∩ R ) + P( U₂ ∩ R )

c-à-d P( G ) = P( U₁ ) × P ( R / U₁ ) + P( U₂ ) × P ( R / U₂ )

Mais P( R / U₁ ) = P( A ) et P ( R / U₂ ) = P( B )

Donc :

P( G ) = ( 8 / 32 ) × ( A ₁₅³/ A₂₀³ ) + ( 24 / 32 ) × ( C ₈² / C ₂₀² )

c-à-d P( G ) = ( 1 / 4 ) × ( 2730 / 6840 ) + ( 3 / 4 ) × ( 28 / 190 )

Ainsi :

Conclusion: P( G ) ≈ 0,21

• Une entreprise fabrique des appareils. Il peut y avoir un défaut mécanique ou un défaut électrique.

Soit E : " L'appareil a le défaut électrique". Soit M :" L'appareil a le défaut mécanique".

Les deux types de défauts sont indépendants.( c-à-d P( E ∩ M ) = P( E ) × P( M ) )

( On rappelle que P( E U M )= P( E ) + P( M ) - P( E ∩ M ) et P( E ∩ ) = P( E ) - P( E ∩ M ) )

On admet que P( E ) = 0,02 et P( M ) = 0,05 .

Soit A:" L'appareil présente les deux défauts".

Soit B: " L'appareil présente au moins un défaut" .

Soit C :" L'appareil ne présente que le défaut électrique".

•• Trouver P( A ). On a : A = E ∩ M

•P( P..P( A ) = P( E ∩ M ) = P( E ) × P( M ) = 0,02 × 0,05

• Conclusion: P( A ) = 0,001

••Trouver P( B ). On a : B = E U M

P( B ) = P( E U M ) = P( E ) + P( M ) - P( E ∩ M )

• P( B ) = 0,02 + 0,05 - 0,001

( Conclusion: P( B ) = 0,069

••Trouver P( C ). On a : C = E ∩

• P( P( C ) = P ( E ∩ ) = P( E ) - P( E ∩ M )

( P( C ) = 0,02 - 0,001 = 0, 019

( Conclusion: P( C ) = 0, 019

•16 étudiants se préparent à passer un examen. On estime à 0,75 la probabilité de "succès" pour un étudiant à ce type d'examen.

Soit R l'événement "Refusé" et soit A l'événement "Admis". ( Ainsi P( A ) = 0,75 )

••Quelle est la probabilité que les 11 premiers étudiants soient admis et les suivants refusés?

( C-à-d la probabilité de l'événement: --A--A--A--A--A--A--A--A--A--A--A---R---R---R---R---R )

La On a sur la branche le produit des probabilités rencontrées est :

0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,25 × 0,25× 0,25 × 0,25 ×0,25

La probabilité cherche est donc 0,75¹¹× 0,25⁵ ≈ 0,000041

( Conclusion: Environ 0,000041

••Quelle est la probabilité que 11 étudiants exactement soient admis?

• On a C₁₆¹¹ façons de choisir 11 places parmi 16.

Donc la probabilité cherchée est C₁₆¹¹ × 0,75¹¹× 0,25⁵

( Conclusion: Environ 0,1801

••Que représenterait ici C₁₆⁷ × 0,75⁷ ×( 1 - 0, 75 )^{16 - 7}?

C₁₆⁷ × 0,75⁷ ×( 1 - 0, 75 )^{16 - 7} =C₁₆⁷ × 0,75⁷ × 0,25⁹

• Conclusion: C'est la probabilité qu'il y ait 7 admis et 9 refusés.C.

On l'obtient par un raisonnement analogue.

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