INFO TEST DENO-PRB BTS 16/2/10

 Nom:  X                   Prénom: _______________n°  ___   Date:    16/2/10            Classe:   BTS1

Dans un jeu, le joueur doit tirer une carte d'un jeu de 32 cartes. S'il obtient une carte de carreau il tire successiveent sans remis trois boules de l'urne U1 , qui contient 5 boules vertes et 15 boules rouges. Sinon il tire deux boules simultanément de l'urne Uqui contient  12 boules vertes et 8 boules rouges. Le joueur gagne une peluche quand il a obtenu des boules rouges seulement.

• •  Faire un arbre.

                                

  • •  Quelle est la probabilité de l'événement G:" Le joueur gagne" ?

            Il y a une situation d'équiprobabilité lors du tirage de la carte comme

            lors du tirage des boules  dans les urnes

             Soit A l'événement :

            " Obtenir un arrangement de trois boules rouges de U1 ".  

              Card( A )  =  A 15 3              Card( Ω ) =   A20 3           P( A ) = Card( A ) / Card ( Ω )

                 Donc   P( A ) = A 15 3   /    A20 3         

            Soit B l'événement :

            " Obtenir une combinaison de deux boules rouges de  U  ".   

                Card( B ) =C 8 2          Card( Ω ' ) = C 20 2          P( B ) = Card( B ) / Card( Ω' )

                Donc   P( B ) = C 8 2   /   C 20 2

•           Soit     U1  l'événement " Avoir obtenu une carte de carreau"

              P(   U1  )  =  8  /  32    

             Soit     U2  l'événement " Ne pas avoir obtenu une carte de carreau"  

                 P( U2  ) = 24 / 32

             Soit R l'événement " les boules sont rouges"

                G  =  ( U1   ∩ R  ) U  ( U2   ∩ R  )     ( Réunion de deux événements incompatibles )

       Donc    P( G ) =  P( U1   ∩ R  ) +  P( U2   ∩ R  ) 

       c-à-d      P( G ) = P(  U1  )  × P ( R  /   U1   ) + P(  U2  )  × P ( R  /   U2   )

         Mais     P(  R  /   U1   ) = P( A )  et  P ( R  /   U2   ) = P( B )

        Donc :

              P( G ) =   (  8  /  32 )  × (  A 15 3   /    A20 3  ) + (  24 / 32  )  × ( C 8 2   /   C 20 2  )

      c-à-d        P( G ) = ( 1 / 4 )  × ( 2730  /  6840  ) + ( 3 / 4 ) × (   28  / 190  )

      Ainsi :

               Conclusion:     P( G ) ≈  0,21         

Une entreprise fabrique des appareils. Il peut y avoir un défaut mécanique ou un défaut électrique.

Soit E : " L'appareil a le défaut électrique". Soit M :" L'appareil a le défaut mécanique".

Les deux types de défauts sont indépendants.( c-à-d  P( E ∩ M ) = P( E ) × P( M )  )

 ( On rappelle que P( E U M )= P( E ) + P( M ) - P(  E ∩ M )  et  P( E ∩  ) = P( E ) -  P( E ∩ M )   )

 On admet que P( E ) = 0,02  et P( M ) = 0,05 .

Soit A:" L'appareil présente les deux défauts".

Soit B: " L'appareil présente au moins un défaut" .

Soit C :" L'appareil ne présente que le défaut électrique".

•• Trouver P( A ).    On a :   A =  E ∩ M

•P( P..P( A ) = P( E ∩ M ) =  P( E ) × P( M ) =  0,02 × 0,05

                    Conclusion:     P( A ) = 0,001    

••Trouver P( B ).    On a :    B  =  E U M

                 P(  B ) = P( E U M ) = P( E ) + P( M ) - P(  E ∩ M ) 

      •           P(  B ) = 0,02 + 0,05 - 0,001

                  ( Conclusion:  P(  B ) = 0,069  

••Trouver P( C ).    On a :   C =  E ∩   

•                P( P( C ) =  P ( E ∩   ) =  P( E ) -  P( E ∩ M ) 

                   ( P( C ) = 0,02 -  0,001 = 0, 019

                   ( Conclusion:    P( C ) = 0, 019   

16 étudiants se préparent à passer un examen. On estime à 0,75 la probabilité de "succès" pour un étudiant à ce type d'examen.

Soit R l'événement "Refusé"  et soit  A l'événement "Admis". ( Ainsi P( A ) = 0,75 )

••Quelle est la probabilité que les 11 premiers étudiants soient admis et les suivants refusés?

 ( C-à-d la probabilité de l'événement:  --A--A--A--A--A--A--A--A--A--A--A---R---R---R---R---R  )  

              La On a sur la branche le produit des probabilités rencontrées est :  

  0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,75 × 0,25 × 0,25×  0,25 × 0,25 ×0,25

              La probabilité cherche est donc          0,7511  × 0,255   ≈  0,000041

                  ( Conclusion:   Environ   0,000041

••Quelle est la probabilité que 11 étudiants exactement soient admis?

•        On a  C16 11    façons de choisir 11 places parmi 16.

          Donc la probabilité  cherchée est     C16 11   ×   0,7511  × 0,255  

                           ( Conclusion:   Environ    0,1801 

••Que représenterait ici  C16 7   ×  0,757   ×( 1 - 0, 75 )16 - 7    ?

                   C16 7   ×  0,757   ×( 1 - 0, 75 )16 - 7   =  C16 7   ×  0,757   × 0,259   

•                Conclusion: C'est  la probabilité qu'il y ait 7 admis et 9  refusés.C.

                  On l'obtient par un raisonnement analogue.