INFO 3 FEUILLE 1 EX NOMB. COMPLEXE

INFO 3 FEUILLE 1 EX NOMB. COMPLEXE

               INFO 3 FEUILLE 1 SUR LES NOMBRES COMPLEXES             TS    13 /9/10

       8.

            Déterminons l'ensemble des points M ( z ) tels que : | z - 1 + 2i | = 3      ( 1 )

               ( L'idée est de faire apparaître le module d'une différence.)

                L'égalité donnée s'écrit  | z - ( 1 - 2 i   ) | = 3

                              

                Soit le point A( 1 - 2 i   ) .

                On a :   AM = | z - ( 1 - 2 i   ) |

                Alors (  1 ) se traduit  par AM = 3.            

           L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points M du plan tels que AM = 3.

          Conclusion: Il s'agit donc du cercle de centre A( 1 - 2 i )  et de rayon 3 .

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      9.   

             Déterminons l'ensemble des points M( z ) du plan tels que :

                     |z +2 - 3 i | = |  z + 1 + i  |             ( 1 )

            (  L'idée est de faire apparaître des modules de différences . )

               L'égalité (  1 ) fournie s'écrit :

                          |z - ( - 2 + 3 i ) | = |  z - ( - 1 - i )  |    

                Considérons les points A (   - 2 + 3 i  ) et B( - 1 - i ) .

                 On a : AM =  |z - ( - 2 + 3 i ) |

                 et       BM = |  z - ( - 1 - i )  |    

                  Ainsi ( 1 ) peut s'écrire AM = BM.

              L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points M situés à

               égale distance de A et B. C'est la médiatrice D de [ AB].

                              

                      Conclusion: L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [AB ].

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        10.

              Soit les points A (  1+ 3 i  ) , B(   - 2 - 3 i ) , C( - 1 - i   ) .

                    Regardons si les points A , B ,C sont alignés.

             (  L'idée est de regarder si les vecteurs  vect( AB ) et vect( AC ) sont colinéaires.)

               On a :

                       zB - zA = - 2 - 3 i  - (  1+ 3 i  ) = - 2 - 3 i - 1 - 3 i = - 3 - 6 i = 3 ( - 1 - 2 i )

                       zC - zA =  - 1 - i  - (  1+ 3 i  ) =- 1 - i - 1 - 3 i = - 2 - 4 i = 2( - 1 - 2 i ) 

                Il apparaît que :     2( - 1 - 2 i )  = ( 2 / 3 )  3(   - 1 - 2 i )  

                   c-à-d                zB - zA   =     ( 2 / 3 )    ( zC - zA )

             Ainsi  :                   vect( AB ) = ( 2 / 3 )  vect( AC )

               Comme les vecteur  vect( AB ) et  vect( AC ) sont colinéaires

               les points A , B , C sont alignés.

                               

              Conclusion: Les points A (  1+ 3 i  ) , B(   - 2 - 3 i ) , C( - 1 - i   ) 

                              sont alignés.

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