LISTE D'EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1S MAI 2009
INFORMATION IMPORTANTE :
Les règles pour les limites de fonctions s’appliquent aux suites numériques
car les suites sont des fonctions.
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EX 1.
Soit un réel positif α.
Comment peut-on montrer que ( 1 + α )n >= 1 + n α
pour tout entier naturel n ? ( Inégalité de Bernoulli )
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EX 2. Soit q = 1 + α avec α un réel strictement positif.
Justifier que lim qn = + ∞
n→ + ∞
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EX 3. Soit q un réel tel que 0 < q < 1.
a. Que peut-on dire de lim ( 1 / q )n ?
n→ + ∞
b. En déduire lim qn .
n→ + ∞
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EX 4. Soit q un réel tel que - 1 < q < 0.
a. Encadrer | q |.
b. A-t-on - | q | n =< qn =< | q | n ?
( On rappelle que tout réel x est compris entre - | x | et | x | . )
c. Trouver lim qn .
n→ + ∞
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EX . 5. Soit la suite de terme général :
un = sin n / n pour tout entier naturel non nul.
1. Montrer à l’aide du th. des gendarmes qu’elle converge vers 0.
( c-à-d lim un = 0 )
n→ + ∞
2. Soit la suite de terme général :
un = n + sin n pour tout n dans IN.
Montrer qu’elle diverge vers + ∞ .
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EX.7.
Soit la suite de terme général un = 1 / ( 2 n + 1 ) définie dans IN.
Est-elle convergente ?
( C-à-d admet-elle une limite finie? )
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EX.8. Soit les suite ( u ) et ( v ) telles que :
un = ( n - 1 ) / ( n + 1 ) et vn = 1 + 3 - n
pour tout n dans IN.
a. Donner les sens de variation de ces deux suites.
b. Montrer que lim ( un - vn ) = 0
n→ + ∞
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EX.9. Soit la suite de terme général un = ( 2 n + 1 ) / ( 3 n+ 1 - 1 )
définie surIN .
Trouver lim un .
n→ + ∞
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EX.10. Soit la suite récurrente (u ) définie sur par :
u0 = 3
un + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4 pour tout n dans IN.
Soit vn = un - 6 pour tout n dans IN.
a. Montrer que la suite (v ) est géométrique.
b. Etudier la convergence éventuelle des suites ( v ) et ( u ).
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