LISTE 1 D'EXERCICES. SUITES

 LISTE D'EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES       1S          MAI 2009

 INFORMATION IMPORTANTE :

  Les règles pour les limites de fonctions s’appliquent aux suites numériques

  car les suites sont des fonctions.

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EX 1.

          Soit un réel positif α.

           Comment peut-on montrer que  ( 1 + α )n   >= 1 + n α

           pour tout entier naturel n ?  ( Inégalité de Bernoulli )

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EX 2.    Soit q = 1 + α avec α un réel strictement positif.

             Justifier que     lim qn     = +

                                       n→ + ∞

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EX 3.    Soit q un réel tel que    0 < q  < 1.

     a. Que peut-on dire de   lim ( 1 / q )n    ?

                                            n→ +

      b. En déduire     lim qn    . 

                               n→ + ∞

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EX 4.            Soit q un réel tel que - 1 < q < 0.

        a. Encadrer    | q |.

        b. A-t-on    - | q | n =<  qn   =< | q | n    ?

          ( On rappelle que tout réel x est compris entre - | x | et | x | . )

         c. Trouver      lim qn    . 

                               n→ + ∞    

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EX . 5.       Soit la suite de terme général :

                   un = sin n  / n     pour  tout entier naturel non nul.

                 1. Montrer à l’aide du th. des gendarmes qu’elle converge vers 0.

                       ( c-à-d     lim  un = 0           )

                                      n→ + ∞ 

                 2. Soit la suite de terme général :

                     un = n + sin n     pour   tout n dans IN.

                     Montrer qu’elle diverge vers  + ∞ .

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EX.7.

         Soit la suite de terme général    un =   1 / ( 2 n + 1 )   définie dans IN.

             Est-elle convergente ?

              ( C-à-d  admet-elle une limite finie? )

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EX.8.        Soit les suite ( u ) et ( v ) telles que :

                  un = ( n - 1 ) / ( n + 1 )   et      vn =   1  +  3 - n  

                   pour tout n dans IN.


               a. Donner les sens de variation de ces deux suites.

               b. Montrer que    lim ( un -   vn ) =  0

                                           n→ + ∞ 

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EX.9.            Soit la suite de terme général   un = (  2 n + 1 ) / (  3  n+ 1 - 1 )

                    définie surIN .

                    Trouver  lim  un     .

                                  n→ + ∞ 

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EX.10.            Soit la suite récurrente (u ) définie sur par : 

                           u0  =  3

                           un + 1   =  ( 1 / 3 )  un  + 4    pour tout n dans IN.


                       Soit   vn  = un  - 6        pour tout n dans IN.


               a. Montrer que la suite (v ) est géométrique.

               b. Etudier la convergence éventuelle des suites ( v ) et ( u ).

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