DV n° 7 TS1 pour le 22 janvier 2014

                       Devoir à la maison n° 7  du  mercredi 22 janvier 2013   TS1

                EXERCICE  1 

                         Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  1. Sans utiliser la fonction ln établir que 0  est l'unique solution de l'équation

                                              e2 x = 1. 

                  2.  Montrer que la fonction  g: x → x ex + 1  est minorée par 1 - 1 / e  sur IR.

                  3. Soit la fonction :

                               Fch1     

                        a . Etudier ses variations.

                        b. Montrer que l'équation

                                    Hnulle   

                             admet dans chacun des intervalles [ - 2 ; - 1 ] et [ 1 ; 2 ] une seule  

                              solution,  que l'on notera  α et  β   respectivement.

                             Donner un encadrement de  α et  β  d'amplitude inférieure à 10 - 2 .

                       c. Pour tout x dans IR donner le signe de:

                                                 Imdex             

                  3.   On considère la  fonction définie suivante:

                                Fonctionf

                           a  Est-elle définie sur IR ? ( Justifier )

                           b. Donner sa limite en  + ∞ . 

                               Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ( C ) ?

                           c. Donner sa limite en - ∞ .

                                 Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ( C ) ?

                           d. Trouver  l'expression de sa fonction dérivée:

                                            Expfoncderiv

                           e.  Montrer que :

                                          Compar 

                           f. En déduire le sens de variation de la fonction

                                       Fof.

                       4. Résoudre dans IR l'équation:

                                Reslu 

                      5.  Résoudre dans IR l'équation:

                                   Reslu2

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                 EXERCICE 2

                     Soit la fonction Fof d'expression:

                             Fct      

                   1.  Justifier que cette fonction est définie sur IR.

                   2. Donner le signe de la fonction g : x → 1 - x ex  sur l'intervalle [ 1 , + ∞[ .

                   3.  Donner , sur l'intervalle [ 1 , + ∞ [ ,  le sens de variation  de la fonction

                                Fof   .

                   4. On considère la fonction u : x →  ex - x .

                       Exprimer

                                    Fof

                    à l'aide de  u et  u ' .

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        EXERCICE 3

                    Soit la suite ( un ) définie sur IN par :

                      u0 = 2

                      un + 1 =  3 - e- un       pour tout n dans IN

                  1.  Montrer que cette suite est croissante et majorée par 3.

                  2.  Que peut-on en déduire pour la suite?     

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