INFO 5 DV n° 3 1S 28 nov 09

    INFO  5           DV n° 3        1S1           28 / 11/ 09    

          Voir l'INFO 4 pour le début de l'exercice.

          PROBLEME n° 107         Livre Didier  

               Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit  f( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

                                    

                        4.   b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs

                         à  C  et  Dm  : y = - x + m  suivant  les valeurs de m.

                         Mettons la règle sur la droite  D1   c-à-d sur D.

                         Faire glisser la règle en conservant sa direction.

                         Chaque position de la règle correspond  à une droite Dm .

                         On lit la valeur de m sur l'axe des ordonnées.

                         Nous pouvons voir  le nombre de points communs entre la courbe ( C )

                         et la règle en notant la valeur de m.

                                Discussion.

                               • pour  m  > 5              Deux points communs.

                               • pour m  = 5               Un seul point commun.

                               • pour    1 < m < 5        Aucun point commun.

                              • pour m  = 1                 Un seul point commun.

                                • pour m  < 1               Deux  points communs.

                    c. Retrouver  les résultats par le calcul.

                                   Soit  x dans IR- { 1}.

                        Considérons :            f( x ) - ( - x + m) = 0           

                                c-à-d                 ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 ) + x - m = 0

                                c-à-d          [  ( 2 x - 1 ) + ( x - 1 ) (  x - m )  ] / ( x - 1 ) = 0

                                c-à-d        [   2 x - 1 + x²  - m x  - x + m ]  / ( x - 1 ) = 0

                                c-à-d       [   2 x - 1 + x²  - m x  - x + m ]  / ( x - 1 ) = 0

                               c-à-d       [    x - 1 + x²  - m x  + m ]  / ( x - 1 ) = 0

                         On obtient r       x² + ( 1 - m ) x + m - 1 = 0                ( 1 )

                                                        avec  x dans IR- { 1}.

                        Calculons le discriminant  Δm  qui est fonction de m.   

                                              Δm   =   ( 1 - m )²  - 4 ( m - 1 )

                           c-à-d          Δm   = (  ( m - 1 )  -  4 ) ( m - 1 )

                           c-à-d          Δm   =  ( m -  5 ) ( m - 1 )

                         Discuter suivant m le signe de  Δm .

                           

m   - ∞                 1                             5                    + ∞  
Signe de Δm                                           +         0          -                 0      +                                                         

Nombre de

 racines de    (1 )

     Deux       une      Aucune       une              Deux                      

                          5. Reprendre la question 4. pour les droites Δm d'équation

                        y = m x + 1.

                    a. Donnons le point  J commun de D et de toutes les droites Dm  ?

                           C'est le point J( 0 ; 1 )

                    b. Graphiquement.

                         Mettons la règle sur la droite D-1 c-à-d sur la droite D.

                         Faisons  pivoter la règle autour du point J.

                        Chaque position de la règle correspond à une droite Dm .

                         Notons, dans une discussion suivant m , le nombre de points

                         communs visibles entre la règle et la courbe ( C ).

                                   • m = 0                         Un seul  point  commun.

                                  • m = - 1                          Un seul  point commun.

                                  • m ≠ 0   et    m ≠  - 1 

                                                       Deux points  communs ( distincts )                    

                         c. Considérons    f( x ) -  ( m x + 1) = 0  avec x dans IR - { 1 }.

                                  Soit x dans IR - { 1].

                              On a:     ( 2 x - 1 ) / (  x - 1 )  - m x - 1 = 0

                             c-à-d       [ ( 2 x - 1 ) + (  x - 1 ) ( - m x - 1) ] / ( x - 1 )  = 0

                              c-à-d         [  2 x - 1  +  m x + 1 - m x² -  x  ] / ( x - 1 )  = 0

                               c-à-d     [  x + m x - m x² ] / ( x - 1 ) = 0

                              c-à-d            [  x ( - m x + m + 1)  ] /  (x - 1 ) = 0

                       Ainsi on obtient :      x ( - m x + m + 1)  = 0    (  2 )

                                                                avec x dans IR- { 1 }.

                                      c-à-d     x = 0    ou    - m x + m + 1)  = 0 

                                                                  avec x dans IR- { 1 }.

                         Discutons  suivant   le nombre de solutions  .

                           • m = 0                           Alors   (  2 )   donne    x = 0 .   

                                                                          Un seul  point commun.

                            • m ≠ 0 

                                                                     ( 2 ) donne   x = 0  ou  x = ( m + 1 ) / m

                                                     • • m = - 1 

                                                                        ( m + 1 ) / m = 0

                                                                          Il n'y a que  x = o

                                                                           Un seul  point commun.

                                                        • • m ≠  - 1 

                                                      Il y a deux valeurs de x distinctes  0 et   (m + 1 ) / m .

                                                                         Deux points  communs

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