COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE 3 1S ( SUITE ) Janvier 09
13.Opérations sur les limites.
Soit a dans IR U { - ∞ , + ∞ } .
Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle
dont une extrémité est a.
Soit L et L' deux réels.
On dispose des résultats suivants:
Pour la somme:
|
lim f = a |
L | L | L | + ∞ | + ∞ | - ∞ |
|
lim g = a |
L' | + ∞ | - ∞ | + ∞ | - ∞ | - ∞ |
|
lim( f + g ) = a |
L + L' | + ∞ | - ∞ | + ∞ | Forme indét. | - ∞ |
Pour le produit :
|
lim f = a |
L | L >0 | L < 0 | L > 0 | L < 0 | + ∞ | + ∞ | - ∞ | 0 | 0 |
|
lim g = a |
L' | + ∞ | + ∞ | -∞ | - ∞ | + ∞ | - ∞ | - ∞ | + ∞ | - ∞ |
|
lim( f × g ) = a |
L×L' | +∞ | - ∞ | - ∞ | + ∞ | + ∞ | - ∞ | + ∞ | Forme indét. | Forme indét. |
( Il est clair que f × g = g× f )
Pour le quotient:
lim f = a lim g = a lim( f / g ) a
L
L
L
L
+ ∞
+ ∞
- ∞
- ∞
+ ∞
- ∞
L'≠0
+ ∞
- ∞
0
- ∞
+ ∞
- ∞
+ ∞
0
0
L/ L'
0
0
Forme indét.
Forme indét.
Forme indét.
Forme indét.
Forme indét.
Forme indét.
Forme indét.
15. Propriété.
Soit a un réel.
On a :
lim 1/ ( x + a ) = 0 et
x→ + ∞
lim 1/ ( x + a ) = 0
x→ - ∞
16. Théorème des gendarmes.
Soit a et L dans IR U { - ∞ , + ∞ } .
Soit f , g , h trois fonctions définies sur un intervalle d'extrémité a.
Si g =< f =< h au voisinage de a
et lim g = lim h = L
a a
alors lim f = L
a
17. Propriété.
Soit a dans IR U { - ∞ , + ∞ } .
Soit f , g deux fonctions définies sur un intervalle d'extrémité a.
• Si g =< f au voisinage de a
et lim g = + ∞
a
alors lim f = +∞
a
• Si f =< g au voisinage de a
et lim g = - ∞
a
alors lim f = - ∞
a
Remarque:
Pour lever les formes indéterminées on dispose de différentes techniques
comme.
• Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué
du dénominateur.
• Factoriser la plus grande puissance de x.
• Encadrer par des expressions qui ont la même limite.