COMPORT. ASYMPTOTIQUE 3 1S

 COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE 3    1S   ( SUITE )    Janvier 09


   13.Opérations sur les limites.

         Soit a  dans  IR U { -  ∞  , + ∞ } .

        Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle

        dont une extrémité est a.

         Soit L et L'  deux réels.

         On dispose des résultats suivants:

  Pour la somme:

lim f = 

 a

L L L +   ∞ +  ∞ -  ∞

lim g =

 a

L' +  ∞ -  ∞ +  ∞ -  ∞ -  ∞

lim( f + g ) =

 a

L + L' + ∞ -  ∞ +  ∞ Forme indét. -  ∞

   Pour le produit :

lim f = 

 a

L L >0 L < 0 L > 0 L < 0 + ∞ + ∞ - ∞ 0 0

lim g =

 a

L' + ∞ + ∞  -∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ - ∞

lim( f × g ) =

 a

L×L' +∞ - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ + ∞ Forme indét. Forme indét.

   (  Il est clair que f × g = g× f  )

Pour le quotient:

lim f = 

 a

L L + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ - ∞

lim g =

 a            

L'≠0 + ∞ - ∞  0 - ∞ + ∞ - ∞ + ∞ 0 0

lim( f / g )

 a               

L/ L' 0 0 Forme indét. Forme indét. Forme indét. Forme indét. Forme indét. Forme indét. Forme indét.

  15. Propriété.

          Soit a un réel.

         On a :

  lim 1/ ( x + a ) = 0     et 

  x→ + ∞

  lim 1/ ( x + a ) = 0      

  x→ - ∞

  16. Théorème des gendarmes.

           Soit a  et L dans  IR U { -  ∞  , + ∞ } .

           Soit f , g , h trois fonctions définies sur un intervalle d'extrémité a.

           Si  g =<  f  =< h  au voisinage de a

           et     lim g   = lim h = L

                    a             a

            alors     lim f = L

                          a

    17. Propriété

             Soit a  dans  IR U { -  ∞  , + ∞ } .

           Soit f , g  deux  fonctions définies sur un intervalle d'extrémité a.

          Si  g =<  f   au voisinage de a

              et  lim g = + ∞

                     a     

             alors  lim f = +∞

                        a

             Si    f =< g  au voisinage de a

              et  lim g = - ∞

                     a     

             alors  lim f = - ∞

                        a


    Remarque:

   Pour lever les formes indéterminées on dispose de différentes techniques

        comme.

              Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué

               du dénominateur.

            Factoriser  la plus grande puissance de x.

          • Encadrer  par des expressions qui ont la même limite.