INFO EXE 2 Partie B DS n° 6 TS1

 

                               INFO EX 2  Partie B     DS n° 6           samedi 9 février 2013

                 EXERCICE 2

                  Partie B

                      Soit la fonction   f : x→  2 x - ( ln x ) / x2      sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [

                      1. Limites de f en o à droite et + ∞.

                          • En    + ∞.  

                                      lim    ( ln x ) / x2   = 0           d'après le cours

                                       x →  + ∞

                                 Donc    lim (  2 x - ( ln x ) / x2   ) = + ∞

                                                  x →  + ∞

                                     Conclusion:    lim f = + ∞

                                                                + ∞

                               • En  0 à droite.

                                             lim ( ln x ) / x2   ) =   - ∞ / 0+   = -  ∞

                                              x  →  0+

                                      Donc:              lim (  2 x - ( ln x ) / x2   ) =  + ∞

                                                                   x  →   0+    

                                              Conclusion:    lim f =  + ∞

                                                                           + ∞

                     2. Montrons que la droite  Δ: y = 2 x  est une asymptote à

                         la courbe de f  en  + ∞.

                         Montrons pour cela que :      lim ( f(x) - 2 x ) = 0

                                                                               x  →    + ∞

                           Soit x > 0

                             On a :      f( x) =  2 x - ( ln x ) / x2

                               c-à-d        f(x) - 2 x = - ( ln x ) / x2    

                                  Or    on a vu que 

                                                lim    ( ln x ) / x2   = 0          

                                                 x →  + ∞

                                    Donc     lim ( f(x) - 2 x ) = 0

                                                   x →  + ∞

                         Conclusion : OUI. Le résultat est prouvé.

                          3. Position relative de Δ  et ( C ).

                              Le signe de  - ( ln x ) / x2   pour tout x > 0 est celui

                                de - ln x .

                                           Donc  :

x 0               1         +∞
f( x) - 2 x  ||     +      0        -

                                    Conclusion : 

                                     Sur l'intervalle ] 0 , 1 [   ( C ) est au dessus de  Δ.

                                    Sur l'intervalle ] 1, + ∞ [   ( C ) est en dessous de   Δ.

                            Au point de coordonnées ( 1 , 0) on   ( C ) et Δ qui se croisent.

                4. Montrons que f '( x) est du signe de g( x)  pour tout x > 0.

                    Soit x  > 0.

                  partieb.png

                Le signe de f '( x) est celui du numérateur g( x)

               pour tout x > 0

                       Conclusion : Le résultat est prouvé.

          5. Déduisons le tableau de variations de f               

x 0               α            +∞
f '( x) ||   -          0          +
f(x) ||     ↓    f(  α)       ↑

            6. Courbe de f  avec ici 1 cm suivant l'axe

                des abscisses et 2 cm  suivant l'axe des ordonnées.

            (  On peut facilement envisager le contraire.)
                cbds6.png
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