INFO EX 2 DS n °4 TS1 2012

                        INFO  EXERCICE 2      DS n° 4    Samedi 22 décembre 2012

              EXERCICE 2         Bac   extrait

 

         1. Donner les formes exponentielles des affixes des points A , B , C

             sachant   que :      zA  = 2

                                             zB  = 1 + i √3

                                             zC  = 1 - i √3 

              Il peut être important de noter tout de suite que 

                          conjugue.png

               Les arguments des nombres complexes non nuls

                zB    et  zC   seront donc opposés. 

               Ceci est utilisable directement dans un exercice.             

              g11.png

       b. Plaçons les points A , B , C.

         graphique-158.png          

     2.   Déterminons les formes exponentielles des nombres complexes.

             • Pour le produit:

                      On peut dire:

                 produit-de-nombres-complexes2.png

                  Ou alors on peut détailler en disant:

                 produit-de-nombres-complexes1.png

                 Comme les trois nombres complexes multipliés ont chacun

                un module égal à  2 on a obligatoirement le module du produit 

                 qui est  2 × 2 × 2 = 8 . 

                • Pour le quotient:

                      quotient229.png

                • Pour le quotient:

                         quotient228.png

   3.  Déterminons l'ensemble ( D ) des points M(z) du plan

             tels que  | z | = | z - z |.

              L'idée, déjà rencontrée, est de privilégier l'apparition 

               de modules de différences de nombres complexes car on peut les

                interpréter comme des distances.

               Ce qui est utile en géométrie.

             L'égalité donnée s'écrit ainsi :  | z - 0 | = | z - zA  |

              c-à-d          OM = A M

              L'ensemble cheché est le lieu des points M situés à égale distance

             des points  O et A.

              Donc:

                 graphique159.png

           Conclusion:

          L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [OA].

   4. Résolvons l'équationdans l'ensemble des nombres complexes:

                         egalite951.png

                 L'égalité donnée s'écrit :

                             z  ≠  2    et     z ( z - 2 ) = - 4  

                         ( Attention à la condition pour avoir l'équivalence )

                   c-à-d  

                                   z  ≠  2   et       z2  - 2 z + 4 = 0 

                        ( Attention:     z2  - 2 z + 4   n'est pas un carré parfait 

                            Par contre  z2  - 4 z + 4  l'est )

                  Considérons:

                                   Δ ' =  b'2  - ac 

                            c-à-d       Δ ' =  1 - 4 = - 3

                             Les solutions :

                          ( Attention à regarder si elles respectent la condition )

               (  - b' - i  √|  Δ ' | ) / a   = 1 - i √ 3  = zC         convient 

            (  - b' + i  √|  Δ ' | ) / a   =  1 + i √ 3  =  zB         convient          

                Conclusion:   S = {   1 - i √ 3   ;     1 + i √ 3   }

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