CORRECTION . EX. ( LOIS NORMALES )

      EXERCICES SUR LES V.A.R DE LOI NORMALE            OCT 08   BTS  


         10. EX.          Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ).

                                Trouver P( X < 1,24 ). 


         REPONSE.          X est de loi normale centrée réduite.

                                P( X < 1,24 ) = ∏( 1,24)

                                On lit donc dans la table à l'intersection de la

                               ligne de t = 1,2 avec la colonne 0,04

                      la probabilité    0,8925  cherchée.                  1, 2 + 0,04 = 1,24

    t   0,00 0,01 0,02 0,03  0,04
 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160
....... ..... ..... ...... .... .....
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8807 0,8925

                                 P( X < 1,24 ) ≈ 0,8925


         11. EX.     Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ).

                              Trouver P( X < - 2,34 )


 

 

                 REPONSE                 X est de loi normale centrée réduite.

 

 

                                                 P( X < - 2,34 ) = ∏( - 2,34 )  = 1 - ∏( 2,34 ).

                                       On peut lire dans la table la valeur de ∏( 2,34 ).

    t   0,00 0,01 0,02 0,03  0,04
 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160
....... ..... ..... ...... .... .....
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904

 

 

                                  ∏( 2,34 ) ≈ 0,9904 

 

                            P( X < - 2,34 ) ≈ 1 - 0,9904

 


             12. EX.      Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ).     

                                  Calculer   P( 1,141 < x < 1,598 ) 

 


 

 

 

                  REPONSE  ( EX. 12 . sur les lois normales. )

                      X est de loi normale centrée réduite .

             P( 1,141 < X < 1,598 ) = ∏( 1,598 ) - ∏(1,141) .

                 Mais la table ne permet pas directement d' avoir  ∏(1,141)

                   ni  ∏( 1,598 ).

                   Elle permet d'avoir ∏(1,14 ) et ∏( 1,6 ).

                   On s'en contente........

                  ( A moins de vouloir faire un partage proportionnel.... Ce qui est long.)

 

     t 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160
..... ... ..... .... ... ...
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729

                     Donc  ∏(1,14 ) ≈ 0,8729 

  t 0,00
0,0 0,5000
.... ....
1,6 0,9452

                    Donc ∏( 1,6 ) ≈ 0,9452

  Ainsi :   ∏( 1,598 ) - ∏(1,141) ≈  0,9452 - 0,8729 

              P( 1,141 < X < 1,598 )   0,0723  

                 

 


 

 

 

              13. EX .  ( De synthèse. )

 

                         1.   Soit   X une v.a.r de loi binomiale B( 20 ; 0,4). 

                               Déterminer la v.a.r  Y  de loi normale N( m ; σ ) qui permet  

                               d'approcher X.

                         2. Calculer P( X = 5 ).

                         3. Calculer P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) .  

                        Indication: C'est la probabilité qui approche P( X = 5 ) 

                                                à l'aide de Y .

                           ATTENTION.    P( T = 5 ) = 0 . Ce qui est sans intérêt. 

                          On changera de v.a.r continue en prenant une  

 

                           v.a.r   T = ( Y - m ) /  σ   de loi normale N( 0 , 1 ) . 

 

 


 

          REPONSE

                1. On a comme X est de loi binomiale B( 20 ; 0,4 )

                          E( X )= 20 ×  0,4 = 8

                          V( X ) = 8 × ( 1 - 0,4 ) = 4,8

                             σ( X) ≈  2,1908

              Prenons pour la loi normale N(  m ; σ )

                                 m = 8     et  σ = 2,19

 

                2. On a :    P( X = 5 ) =C20 5   0,45    0,615

                                    P( X = 5) ≈ 0,07465  

     3. On considère :   P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) = P( 4,5 < Y < 5,5)

        P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) = P( 4,5 < Y < 5,5) = P ( ( 4,5 - 8 ) / 2,19 < ( Y - 8 ) / 2,19 < ( 5,5 - 8 ) / 2,19 )

         Mais   ( 4,5 - 8 ) / 2,19 ≈ - 1, 5981

                    ( 5,5 - 8 ) / 2,19  ≈ - 1, 1415

         Considérons :

                   P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 )

       On a:

                P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) = ∏( - 1, 1415 ) - ∏( - 1, 598 )

                P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) = ( 1 - ∏( 1, 1415 ) ) - ( 1 - ∏( 1, 598 ) )

               P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) =  - ∏( 1, 1415 )  + ∏( 1, 598 )

                    Ce calcul a été fait dans l'ex. n°12.

                     P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ 0,0723

      Finalement                 P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ 0,0723