EXERCICES SUR LES V.A.R DE LOI NORMALE OCT 08 BTS
10. EX. Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ).
Trouver P( X < 1,24 ).
REPONSE. X est de loi normale centrée réduite.
P( X < 1,24 ) = ∏( 1,24) On lit donc dans la table à l'intersection de la ligne de t = 1,2 avec la colonne 0,04 la probabilité 0,8925 cherchée. 1, 2 + 0,04 = 1,24
t
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
.......
.....
.....
......
....
.....
1,2
0,8849
0,8869
0,8888
0,8807
0,8925
P( X < 1,24 ) ≈ 0,8925
11. EX. Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ).
Trouver P( X < - 2,34 )
REPONSE X est de loi normale centrée réduite.
P( X < - 2,34 ) = ∏( - 2,34 ) = 1 - ∏( 2,34 ).
On peut lire dans la table la valeur de ∏( 2,34 ).
| t | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 |
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 |
| ....... | ..... | ..... | ...... | .... | ..... |
| 2,3 | 0,9893 | 0,9896 | 0,9898 | 0,9901 | 0,9904 |
∏( 2,34 ) ≈ 0,9904
P( X < - 2,34 ) ≈ 1 - 0,9904
12. EX. Soit une v.a.r continue X de loi normale N( 0 ; 1 ). Calculer P( 1,141 < x < 1,598 ) REPONSE ( EX. 12 . sur les lois normales. ) X est de loi normale centrée réduite . P( 1,141 < X < 1,598 ) = ∏( 1,598 ) - ∏(1,141) . Mais la table ne permet pas directement d' avoir ∏(1,141) ni ∏( 1,598 ). Elle permet d'avoir ∏(1,14 ) et ∏( 1,6 ). On s'en contente........ ( A moins de vouloir faire un partage proportionnel.... Ce qui est long.)
t
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
.....
...
.....
....
...
...
1,1
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
Donc ∏(1,14 ) ≈ 0,8729
| t | 0,00 |
| 0,0 | 0,5000 |
| .... | .... |
| 1,6 | 0,9452 |
Donc ∏( 1,6 ) ≈ 0,9452
Ainsi : ∏( 1,598 ) - ∏(1,141) ≈ 0,9452 - 0,8729
P( 1,141 < X < 1,598 ) ≈ 0,0723
13. EX . ( De synthèse. )
1. Soit X une v.a.r de loi binomiale B( 20 ; 0,4). Déterminer la v.a.r Y de loi normale N( m ; σ ) qui permet d'approcher X. 2. Calculer P( X = 5 ). 3. Calculer P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) . Indication: C'est la probabilité qui approche P( X = 5 ) à l'aide de Y . ATTENTION. P( T = 5 ) = 0 . Ce qui est sans intérêt. On changera de v.a.r continue en prenant une
v.a.r T = ( Y - m ) / σ de loi normale N( 0 , 1 ) .
REPONSE 1. On a comme X est de loi binomiale B( 20 ; 0,4 ) E( X )= 20 × 0,4 = 8 V( X ) = 8 × ( 1 - 0,4 ) = 4,8 σ( X) ≈ 2,1908 Prenons pour la loi normale N( m ; σ ) m = 8 et σ = 2,19 2. On a : P( X = 5 ) =C20 5 0,45 0,615 P( X = 5) ≈ 0,07465 3. On considère : P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) = P( 4,5 < Y < 5,5) P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) = P( 4,5 < Y < 5,5) = P ( ( 4,5 - 8 ) / 2,19 < ( Y - 8 ) / 2,19 < ( 5,5 - 8 ) / 2,19 ) Mais ( 4,5 - 8 ) / 2,19 ≈ - 1, 5981 ( 5,5 - 8 ) / 2,19 ≈ - 1, 1415 Considérons : P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) On a: P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) = ∏( - 1, 1415 ) - ∏( - 1, 598 ) P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) = ( 1 - ∏( 1, 1415 ) ) - ( 1 - ∏( 1, 598 ) ) P( - 1, 598 < T < - 1, 1415 ) = - ∏( 1, 1415 ) + ∏( 1, 598 ) Ce calcul a été fait dans l'ex. n°12.
P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ 0,0723 Finalement P( 5 - 0,5 < Y < 5 + 0,5 ) ≈ 0,0723