INFO DV n° 7 1S 9 Mars

  INFO     DEVOIR     n° 7    1S1          le 9 mars 2009

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    EXERCICE 1.   

      1.  En écrivant  2 π / 3 = π -  π / 3  , trouver la valeur exacte de cos ( 2 π / 3 ) .

              On a :    cos( π - π / 3 ) =  - cos(  π / 3 ) = - 1 / 2

            Conclusion :      cos(  2 π / 3 ) = - 1 / 2

      2. Résoudre dans IR ,  l'équation cos x = - 1 / 2 .

           On peut remplacer l'égalité par    cos x = cos ( 2 π / 3 )

           c-à-d       x = 2 π / 3   [ 2 π ]        ou      x = - 2 π / 3  [ 2 π ] 

    Conclusion :     S = {   2 π / 3 + 2 k π    /    k dans Z }  U  {  - 2 π / 3 + 2 k π    /    k dans Z }

      3. En déduire la résolution dans IR de l'équation cos( 2 x ) = - 1 / 2  .

             L'égalité se traduit par   2x = 2 π / 3   [ 2 π ]        ou      2x = - 2 π / 3  [ 2 π ] 

               c-à-d       x = π / 3   [  π ]       ou    x = -  π / 3   [  π ]       en divisant par 2.

  Conclusion:     S = {    π / 3 +  k π    /    k dans Z }  U  {  -  π / 3 +  k π    /    k dans Z }

      4. Calculer :   ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²     pour tout x dans IR.

          ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²     s'écrit :

           ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²  = cos²x + 2 sinx cos x + sin²x + cos²x - 2 sinx cos x + sin²x

           ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²  =  cos²x + sin²x + cos²x + sin²x  =  1 + 1 = 2

   Conclusion :    ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²  =  2    pour tout réel x.

      5. Résoudre dans IR l'équation sin x = - cos x .

        Elle s'écrit :    sin ( - x  ) =  sin ( π/ 2 - x )

            c-à-d           - x   =   π / 2 - x    [  2π ]          ou       - x = π - (  π/ 2 - x  )    [  2π ]  

           c-à-d           0 =   π / 2   [  π ]        ou    -  2 x = π -  π/ 2     [  2 π ]  

           c-à-d      -  2 x =  π/ 2     [  2 π ]     (   La   première égalité étant impossible )

           c-à-d      x = -   π/ 4     [  π ]

      Conclusion:        S = {   -   π/ 4   + k π   /   k dans Z }

                 ( On retrouve l'idée  d'avoir les abscisses curvilignes des points du cercle trigo.

                situés sur la seconde bissectrice. )

      6. Calculer sin x  et cos x quand le réel x vérifie  cos x + sinx = 1.    notée (  1)

        Comme    ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )²  =  2    pour tout réel x.

         cos x + sin x = 1  donne    1 +  ( cos x - sin x )²  =  2 

                Ainsi          ( cos x - sin x )² = 1      

     c-à-d          cos x - sin x = 1   ou     cos x - sin x = - 1    

( 1 )  s'écrit    cos x + sin x = 1                   ou              cos x + sin x = 1

                      cos x -  sin x = 1                                     cos x - sin x = - 1

     C-à-d      2 cos x = 2                              ou                2 cos x = 0

                  sin x = 1 - cos x                                          sin x = 1 + cos x  

Conclusion:

                    cos x = 1              ou                              cos x = 0

                    sin x = 0                                                   sinx = 1               

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     EXERCICE 2.

            Soit ABCD un carré direct de côté de longueur 1.

            On construit le triangle équilatéral direct  DEC.

            Soit  I et J les points milieux des côtés [DC] et [AB].

              1. a. Faire une figure.               

                 

                     b. Calculer la distance EJ.

                   On  a    JI = 1        et  la hauteur dans le triangle équilatéral DEC qui

                  est de longueur EI = 1 √3  / 2 .         E est sur le segment [ J I ].

                Conclusion:                         EJ   =   1 - √3  / 2  = ( 2 - √3  ) / 2

               2. Donner une mesure de l'angle orienté ( vect( AB) , vect( AE) ).   

                  D'après Chasles :   

  ( vect ( DA ), ( DE) ) + ( vect ( DE ), vect( DC ) ) = ( vect ( DA ) , vect ( DC ))  [ 2 π]      

                  Ainsi:    

             ( vect ( DA ), ( DE) ) =  ( vect ( DA ) , vect ( DC ))  - ( vect ( DE ), vect( DC ) )   [ 2 π]    

               Le carré ABCD est direct et le triangle DEC est équilatéral direct;  

                  Donc:                   ( vect( DA, DE ) =  π/ 2   - π/ 3    =  π/ 6     [ 2 π]

                   On a :  AD = DC = ED =1.

                   Le triangle AED est isocèle direct en D .

                  Ainsi :   ( vect( AE ) , vect ( AD ) )=  (  π -  π/ 6 ) / 2 =  5  π/ 12   [ 2 π]

                  D'après Chasles on a :

                      ( vect( AB) , vect( AE) ) + ( vect( A E ) , vect ( AD ) ) = ( vect( AB ), vect( AD ) )

                       ( vect( AB) , vect( AE) ) =  ( vect( AB ), vect( AD ) ) - ( vect( A E ) , vect ( AD ) )

                      ABCD est un carré direct.

                            Ainsi:     ( vect( AB) , vect( AE) ) =   π / 2   -   5 π/ 12  =  π/ 12    [ 2 π]                  

                              Conclusion:       ( vect( AB) , vect( AE) ) = π/ 12    [ 2 π ]

               3. Donner les valeurs exactes de sin( π / 12 )  et cos( π / 12 ).

                  Dans le triangle rectangle JAE on a d'après Pythagore :

                AE² = AJ² + J E²

                     Or AJ = (1 / 2 ) AB = 1 / 2

                          JE = ( 2 - √3  ) / 2

             Donc:       AE² = ( 1 / 2 )² + ( 2 - √3  )² / 4  

                              AE² =  ( 1 / 4 ) + ( 2 - √3  )² / 4  

                               AE² =   (    1 + 4 + 3 - 4 √3     ) / 4      

                               AE² =   (  8 - 4 √3 )  / 4    = 2 - √3                     

                                      sin  π / 12 =  JE / AE

              Donc               sin  π / 12  =  (  (  2 - √3 ) / 2 )  / √( 2 - √3 ) =  √( 2 - √3 ) / 2

              De plus                    cos  π / 12  =  AJ / AE

                                            cos  π / 12  =     ( 1 / 2 )   / √( 2- √3 )   = 1 / ( 2√( 2 - √3 ))

Conclusion:                sin  π / 12 =    √( 2 - √3 ) / 2

                                 cos  π / 12  =  1 / ( 2√( 2 - √3 ))

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     EXERCICE 3.

            Soit l'équation   2 cos² x - cos x - 1 = 0      ( 1 ).

            1. Résoudre dans IR l'équation du second degré   2 X² -  X - 1 = 0.

             2. En déduire la résolution de l'équation ( 1 )  dans IR.

     1. On a  1 comme racine évidente.     2 - 1 - 1 = 0.

        L'autre est donc:    c / a  = - 1 / 2

      Conclusion :   S = { 1 ;  - 1 / 2 }

   2.   Considérons au lieu de ( 1 )         2 X² - X - 1 = 0       (  2)

                                                             X = cos x           ( 3 )

   c-à-d        X = 1 ou X = - 1 / 2            ( 2 )

                  X = cos x           ( 3 )

c-à-d        cos x = 1    ou      cos x = - 1 / 2

c-à-d        x = 0  [ 2 π ]     ou        x = 2 π / 3   [ 2 π ]        ou      x = - 2 π / 3  [ 2 π ]   ( d'après l'ex n° 1 ) 

Conclusion:

S = { 2 k π  /  k  dans  Z } U {   2 π / 3 + 2 k π    /    k dans Z }  U  {  - 2 π / 3 + 2 k π    /    k dans Z }

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       EXERCICE 4

          Soit A et B deux points distincts du plan.

         Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : 

             ( vect( MA ) , vect( MB ) ) = - π / 2    [ 2 π ]

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       ( vect( MA ) , vect( MB ) ) = ± π / 2    [ 2 π ]   signifie 

        M ≠ A   et  M ≠ B  et le triangle ABM est rectangle en M 

c-à-d   M est sur le cercle de diamètre [AB]  privé de A et B.

      Comme on a seulement     - π / 2   le point M décrit

        un demi cercle de diamètre   [AB]  privé de A et B.

      Soit I le point de la médiatrice du segment [AB]  sur le cercle de diamètre [AB] tel que  :

     ( vect( IA ) , vect( IB ) ) = - π / 2    [ 2 π ]   .

    Conclusion:

 L'ensemble cherché est le demi cercle de diamètre   [AB]  privé de A et B qui contient I.