INFO DEVOIR n° 7 1S1 le 9 mars 2009
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EXERCICE 1.
1. En écrivant 2 π / 3 = π - π / 3 , trouver la valeur exacte de cos ( 2 π / 3 ) .
On a : cos( π - π / 3 ) = - cos( π / 3 ) = - 1 / 2
Conclusion : cos( 2 π / 3 ) = - 1 / 2
2. Résoudre dans IR , l'équation cos x = - 1 / 2 .
On peut remplacer l'égalité par cos x = cos ( 2 π / 3 )
c-à-d x = 2 π / 3 [ 2 π ] ou x = - 2 π / 3 [ 2 π ]
Conclusion : S = { 2 π / 3 + 2 k π / k dans Z } U { - 2 π / 3 + 2 k π / k dans Z }
3. En déduire la résolution dans IR de l'équation cos( 2 x ) = - 1 / 2 .
L'égalité se traduit par 2x = 2 π / 3 [ 2 π ] ou 2x = - 2 π / 3 [ 2 π ]
c-à-d x = π / 3 [ π ] ou x = - π / 3 [ π ] en divisant par 2.
Conclusion: S = { π / 3 + k π / k dans Z } U { - π / 3 + k π / k dans Z }
4. Calculer : ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² pour tout x dans IR.
( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² s'écrit :
( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² = cos²x + 2 sinx cos x + sin²x + cos²x - 2 sinx cos x + sin²x
( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² = cos²x + sin²x + cos²x + sin²x = 1 + 1 = 2
Conclusion : ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² = 2 pour tout réel x.
5. Résoudre dans IR l'équation sin x = - cos x .
Elle s'écrit : sin ( - x ) = sin ( π/ 2 - x )
c-à-d - x = π / 2 - x [ 2π ] ou - x = π - ( π/ 2 - x ) [ 2π ]
c-à-d 0 = π / 2 [ π ] ou - 2 x = π - π/ 2 [ 2 π ]
c-à-d - 2 x = π/ 2 [ 2 π ] ( La première égalité étant impossible )
c-à-d x = - π/ 4 [ π ]
Conclusion: S = { - π/ 4 + k π / k dans Z }
( On retrouve l'idée d'avoir les abscisses curvilignes des points du cercle trigo.
situés sur la seconde bissectrice. )
6. Calculer sin x et cos x quand le réel x vérifie cos x + sinx = 1. notée ( 1)
Comme ( cos x + sin x )² + ( cos x - sin x )² = 2 pour tout réel x.
cos x + sin x = 1 donne 1 + ( cos x - sin x )² = 2
Ainsi ( cos x - sin x )² = 1
c-à-d cos x - sin x = 1 ou cos x - sin x = - 1
( 1 ) s'écrit cos x + sin x = 1 ou cos x + sin x = 1
cos x - sin x = 1 cos x - sin x = - 1
C-à-d 2 cos x = 2 ou 2 cos x = 0
sin x = 1 - cos x sin x = 1 + cos x
Conclusion:
cos x = 1 ou cos x = 0
sin x = 0 sinx = 1
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EXERCICE 2.
Soit ABCD un carré direct de côté de longueur 1.
On construit le triangle équilatéral direct DEC.
Soit I et J les points milieux des côtés [DC] et [AB].
1. a. Faire une figure.
b. Calculer la distance EJ.
On a JI = 1 et la hauteur dans le triangle équilatéral DEC qui
est de longueur EI = 1 √3 / 2 . E est sur le segment [ J I ].
Conclusion: EJ = 1 - √3 / 2 = ( 2 - √3 ) / 2
2. Donner une mesure de l'angle orienté ( vect( AB) , vect( AE) ).
D'après Chasles :
( vect ( DA ), ( DE) ) + ( vect ( DE ), vect( DC ) ) = ( vect ( DA ) , vect ( DC )) [ 2 π]
Ainsi:
( vect ( DA ), ( DE) ) = ( vect ( DA ) , vect ( DC )) - ( vect ( DE ), vect( DC ) ) [ 2 π]
Le carré ABCD est direct et le triangle DEC est équilatéral direct;
Donc: ( vect( DA, DE ) = π/ 2 - π/ 3 = π/ 6 [ 2 π]
On a : AD = DC = ED =1.
Le triangle AED est isocèle direct en D .
Ainsi : ( vect( AE ) , vect ( AD ) )= ( π - π/ 6 ) / 2 = 5 π/ 12 [ 2 π]
D'après Chasles on a :
( vect( AB) , vect( AE) ) + ( vect( A E ) , vect ( AD ) ) = ( vect( AB ), vect( AD ) )
( vect( AB) , vect( AE) ) = ( vect( AB ), vect( AD ) ) - ( vect( A E ) , vect ( AD ) )
ABCD est un carré direct.
Ainsi: ( vect( AB) , vect( AE) ) = π / 2 - 5 π/ 12 = π/ 12 [ 2 π]
Conclusion: ( vect( AB) , vect( AE) ) = π/ 12 [ 2 π ]
3. Donner les valeurs exactes de sin( π / 12 ) et cos( π / 12 ).
Dans le triangle rectangle JAE on a d'après Pythagore :
AE² = AJ² + J E²
Or AJ = (1 / 2 ) AB = 1 / 2
JE = ( 2 - √3 ) / 2
Donc: AE² = ( 1 / 2 )² + ( 2 - √3 )² / 4
AE² = ( 1 / 4 ) + ( 2 - √3 )² / 4
AE² = ( 1 + 4 + 3 - 4 √3 ) / 4
AE² = ( 8 - 4 √3 ) / 4 = 2 - √3
sin π / 12 = JE / AE
Donc sin π / 12 = ( ( 2 - √3 ) / 2 ) / √( 2 - √3 ) = √( 2 - √3 ) / 2
De plus cos π / 12 = AJ / AE
cos π / 12 = ( 1 / 2 ) / √( 2- √3 ) = 1 / ( 2√( 2 - √3 ))
Conclusion: sin π / 12 = √( 2 - √3 ) / 2
cos π / 12 = 1 / ( 2√( 2 - √3 ))
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EXERCICE 3.
Soit l'équation 2 cos² x - cos x - 1 = 0 ( 1 ).
1. Résoudre dans IR l'équation du second degré 2 X² - X - 1 = 0.
2. En déduire la résolution de l'équation ( 1 ) dans IR.
1. On a 1 comme racine évidente. 2 - 1 - 1 = 0.
L'autre est donc: c / a = - 1 / 2
Conclusion : S = { 1 ; - 1 / 2 }
2. Considérons au lieu de ( 1 ) 2 X² - X - 1 = 0 ( 2)
X = cos x ( 3 )
c-à-d X = 1 ou X = - 1 / 2 ( 2 )
X = cos x ( 3 )
c-à-d cos x = 1 ou cos x = - 1 / 2
c-à-d x = 0 [ 2 π ] ou x = 2 π / 3 [ 2 π ] ou x = - 2 π / 3 [ 2 π ] ( d'après l'ex n° 1 )
Conclusion:
S = { 2 k π / k dans Z } U { 2 π / 3 + 2 k π / k dans Z } U { - 2 π / 3 + 2 k π / k dans Z }
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EXERCICE 4
Soit A et B deux points distincts du plan.
Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
( vect( MA ) , vect( MB ) ) = - π / 2 [ 2 π ]
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( vect( MA ) , vect( MB ) ) = ± π / 2 [ 2 π ] signifie
M ≠ A et M ≠ B et le triangle ABM est rectangle en M
c-à-d M est sur le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
Comme on a seulement - π / 2 le point M décrit
un demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
Soit I le point de la médiatrice du segment [AB] sur le cercle de diamètre [AB] tel que :
( vect( IA ) , vect( IB ) ) = - π / 2 [ 2 π ] .
Conclusion:
L'ensemble cherché est le demi cercle de diamètre [AB] privé de A et B qui contient I.