INFO EX 3 PARTIE A BAC JUIN 2012

                                                 INFO EX 3 PARTIE A       BAC JUIN 2012


                EXERCICE 3     ( 6 POINTS )                     Commun  à tous les candidats

                          Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

                     PARTIE A 

                          On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [  par 

                                                    fonction-f-ex3.jpg

                        1. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.

                                                    fig-courbe-ex3-bac-2012.jpg

                              + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition de f.  

                              On peut donc faire la recherche.

                               On a :

                                           lim-f-ex3-1.jpg    

                            Or            lim ln   = 0

                                             1

                            Ainsi         limbis-f-ex3.jpg

                            On a donc:

                                                  limter-f-ex3.jpg

                         Conclusion:   lim f = 0 

                                              x→ +∞

           2. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [1 ;  +∞[ ,

                   derive-ex3.jpg  .

              Dresser le tableau de variation de la fonction f.                                    

                      Soit les fonctions   

                                         fonction-u-ex-bac.jpg     et      fonction-v-ex-bac.jpg

                   •  Sur l'intervalle  [1 ;  +∞[  la fonction rationnelle u est définie dérivable

                      et strictement positive.

                       Ainsi la fonction  ln o u est définie et dérivable sur l'intervalle  [1 ;  +∞[  .

                  •  Sur l'intervalle  [1 ;  +∞[  la fonction rationnelle v est définie et dérivable.

                  • Donc la fonction f = v + ln o u est définie et dérivable sur [1 ;  +∞[  .

              On peut remarque que :   u = 1 - v .

                 En effet :  

                            egalite-ex3-bac.jpg

                Donc       u ' = - v '

               Or    v ' : x  → -1 / ( x + 1 )2         (  ln o u  )' = u' / u  = - v ' / u

             On a donc :

              f ' =   v' + ( ln o u)' = v '  - v ' / u

               Soit x ≥ 1.  

                f '( x ) = - 1 / ( x + 1 )2  +   [  1 / ( x + 1 )2 ] / [ x / (x + 1 )]

             Faisons une réduction au même dénominateur.

               f '( x ) = -1 / ( x + 1 )2  + 1 / [ x( x + 1 ) ] =[ - x + ( x + 1) ] /  [ x( x + 1)2 ]

       Conclusion :    On a bien pour tout x dans    [ 1 , +∞  [ ,    f '( x ) = 1 /  [ x( x + 1)2 ]

                      On a  1 /  [ x( x + 1)2 ] > 0 pour tout x dans  [ 1 , +∞  [ .

                      La fonction f est donc strictement   croissante sur l'intervalle [ 1 , +∞  [ . 

         Tableau de variation :     

x 1                           +∞ 
f '( x )                    +
f ( x )   -0,19            ↑              0

        f( 1 ) = 1/2 + ln( 1 / 2 ) = 0, 5 - lin( 2 ) = 0,5- 0,69 = - 0,19

       3. En déduire le signe de la fonction f sur l'intervalle [ 1,  + ∞  [ .

           On dispose de deux informations:

              •  f est strictement croissante sur l'intervalle  [ 1,  + ∞  [ .

              • f est de limite nulle en  +∞ .

             Cela suffit pour conclure:

            Conclusion :    f ≤ 0  sur l'intervalle  [ 1,  + ∞  [ .

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