SUITES NUMERIQUES 14 /04/ 10

                                                                                                Mercredi 14 Avril 2010            1S1    

           Nouvelle leçon :

                                                                 SUITES   NUMERIQUES.   

  FIN DE L'EX. COMMENCE LE SAMEDI 10 AVRIL 2010.

           On a vu l'étude des variations de la fonction rationnelle suivante:

                               f : x → (x² + x + 1) / ( x + 1)  

         c-à-d             f : x  → x  +   1 / ( x + 1)

            f est une fonction définie et dérivable sur IR - { - 1 } comme

           fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 }.

              Soit    x ≠ - 1 .

             On a vu  en considérant   

             ( 1 / v )'  = - v ' / v²  avec v : x  → x + 1 et v ' : x    → 1

              que :

             f '( x ) = 1 -  1 / ( x + 1 )²  = (   ( x + 1 )² - 1 ) / ( x + 1) ²          

             c-à-d

               f ' ( x ) =  ( x² + 2 x + 1 -  1 ) / ( x + 1) ²

            c-à-d

            f ' ( x ) = x ( x + 2 ) / ( x + 1 )²

              f ' ( x ) pour tout x dans IR - { - 1 } est du signe de x ( x + 2 ).

             D'où 

             le tableau de variation de f :         

x - ∞        - 2        - 1             0                   + ∞
f '( x )         +     0    -    ||    -        0         +
f ( x )     ↑       - 3    ↓    ||      ↓      1         ↑  

                •◊ EXEMPLE D'INTRODUCTION.

                    IR- { 1 } = ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1 , + ∞ [

                    IN est inclus dans l'intervalle   ] - 1 , + ∞ [

                     La restriction de la fonction  f  précédente à IN s'appelle la suite

                     numérique ( f )  définie dans IN  de terme général :

                     f( n ) =  (n - 1) /( n + 1)       ou         f( n ) =   n + (  1 / (  n + 1 ) )

                      avec n dans IN .

                      f( n ) est aussi noté fn  .

                 Cette suite est  notée  ( f )  ou  (  fn )  ou encore  (  fn   )IN  .

           Ainsi  ses premiers termes sont :   

                    f ( 0 ) = 0 +  ( 1 / ( 0 + 1 ) ) =  1                                     c-à-d                          f= 1   

                    f ( 1 ) = 1 + ( 1 / 1 + 1 ) = 1 ,5                                        c-à-d                         f1 = 1 , 5

                   f( 2 )  = 2 + (1/ ( 2 + 1 ) ) = 2 + 1 / 3  =  7 / 3                c-à-d                         f2 =  7 / 3 

                       ........................................       etc

           f( n ) =   n + (  1 / (  n + 1 ) )  

     f( n + 1  ) =  ( n + 1)  + (  1 / (  n+ 1 + 1 ) )n + 1 +  ( 1 / ( n + 2 )    On remplace n par n + 1                                           

                        ..................................................   etc

     Définition d'une suite numérique.

                    Tout fonction numérique u définie dans IN est appelée

                     suite numérique définie dans IN.

                    Elle est notée  ( u )   ou   ( u n   ) ou   (  u n   ) IN   .

                    On écrit:           u : IN  ----->  IR

                                               n   --------->  u( n )

                   Son terme général est   u( n )   c-à-d   u n      .

                (  Il arrive que dans certains ouvrages la notation normale ( u )

                   soit  remplacée par u simplement .)

    • ◊ Sens de variation d'une suite numérique

               Soit ( u ) une suite numérique  définie dans IN .

            Alors:

      La suite ( u ) est croissante sur IN ssi     u n + 1 -  u n  ≥ 0     pour tout n dans IN.

 

      La suite ( u ) est décroissante sur IN ssi     u n + 1 -  u n  ≤ 0     pour tout n dans IN.

    EXEMPLE 

                  Soit la suite de terme général    u n =  ( n - 1 ) / ( n + 1 )  pour tout n dans IN.

                 Donner le sens de variation de la suite ( u ).

           Réponse:

                Première méthode.

                   On peut penser à la fonction rationnelle  u : x →   ( x - 1  ) / ( x + 1 ) 

                  définie et dérivable dans IR - { - 1 }  dont la suite ( u ) est la restriction à IN.

                   On étudie le sens de variation de la fonction numérique u pour avoir celui

                   de la suite ( u ).

                 Soit x dans  IR - { - 1 }.

                 On a:                             u( x ) = (  x + 1 -  2  ) /  (x + 1 )

                  c-à-d                        u( x ) =   ( x + 1 ) / ( x + 1 ) -  2 / ( x + 1 )

                   c-à-d                        u( x ) =  1     -   2  ( 1 / ( x + 1 ) )

                  On a déjà vu que la fonction dérivée de x  →   1 / ( x + 1 )  est

                   x  →   - 1 / ( x + 1 )²    sur  IR - { - 1 }.

                 On donc  :               u '( x ) = - 2  (  - 1 / ( x + 1 )²  )   =  2 / ( x + 1 )²

                     Ainsi :   u '  > 0   sur IR - { - 1 } .

                    u est croissante sur les intervalles de IR - { - 1 } .

                   Sa restriction à IN est aussi croissante.

                     Conclusion :   La suite ( u ) est croissante sur IN.

                Seconde  méthode.     

                   On considère    le signe  de u n + 1 -  u n      suivant n dans IN.

                               u   n   =   1 -   2 / (  n  + 1 )

                               u   n + 1  = 1 -  2 / ( n + 1 + 1 ) = 1 - 2 / (  n + 2 )

-----------------------------------------------------------------------------------------

 Par différence:      u n + 1  -    u n  =    1 - 2 / (  n + 2 ) - (  1 -  2  / (  n + 1 )  )

          c-à-d               u n + 1  -    u n  =  1   -   2 ( 1 / ( n + 2 ) )  - 1 + 2 ( 1 / ( n + 1 )

          c-à-d               u n + 1  -    u n  = 2 [   - 1 / ( n + 2 ) + 1 / (  n + 1 )   ]

          c-à-d                u n + 1  -    u n  =   [  - ( n + 1 ) + ( n + 2 ) ]  / [ ( n + 2 )( n + 1 )]

          c-à-d               u n + 1  -    u n    = 2 [   - n - 1 + n + 2 ] /  [ (  n + 2 ) ( n + 1 )]

         c-à-d               u n + 1  -    u n    = 2  /  [ (  n + 2 ) ( n + 1 )]

           On a:            2  / [ (  n + 2 ) ( n + 1 )] > 0      pour tout n dans IN

           Ainsi :            u n + 1  -    u n  > 0     pour tout n dans IN

               Conclusion : On  a  la suite ( u ) qui est bien croissante sur IN.

                                           Même conclusion.

       SUITE RECURRENTE

                      Soit la suite ( u ) définie sur IN par :

                        u 0    =  a        avec a un réel fixé

                        u n + 1    =  g(  u n )   pour tout n dans IN .

                     où g est une fonction numérique définie sur un intervalle.

                         Alors on dit que la suite ( u ) est récurrente  sur IN.

            EXEMPLE

                   ( Proposé par  Pavy ) )

                     Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par:

                                     u 0    =  7

                                  u n +1    =  u n   + 1           pour tout n dans IN     

                      1.  Donner les  termes u 1   ,  u 2    , u 3    .

                       2.  Donner le sens de variation de la suite (  u ).

        Réponse:

             1.    Donner les  termes u 1   ,  u 2    , u 3    .

                   Ici on a :     u n +1  =  g(  u n )       pour tout n dans IN               

                         avec la fonction affine g : x→ x + 1

               On a :         u 0    =  7 

                                   u 1 =   u 0    + 1 =  7 + 1 = 8

                                  u 2   =  u 1  + 1  =  8 + 1 = 9  

                                  u 3   =  u 2   + 1 =  9 + 1 = 10

                     ( On remarque  qu'il suffit d'ajouter 1 à un terme pour avoir le terme suivant.

                       On dit que l'on a une suite arithmétique de raison r = 1 et de premier terme

                            u 0    = 7          )

                2.  Donner le sens de variation de la suite (  u ).

                 On a :  

                                u n +1    =  u n   + 1           pour tout n dans IN     

               c-à-d   

                                 u n +1    -  u n   =   1           pour tout n dans IN     

               Or                1  ≥ 0

             Ainsi        u n +1    -  u n    ≥ 0      pour tout n dans IN  

             Conclusion:   La suite récurrente ( u ) est croissante sur IN.

                EXEMPLE De RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 

                  Soit la suite récurrente ( u )  définie sur IN par:

                                  u 0    =  2

                                  u n +1    =  √  ( u n   + 2   )         pour tout n dans IN    

                   A-t-on       u n     ≥  2       pour tout n dans IN    ?

              Réponse:

                  Exposé de la méthode:

     Premier point:   Vérifier que l'inégalité est vraie pour n = 0    ( AMORCE )

     Second point:  Considérer n un entier naturel quelconque

                                  sans lui donner de valeur.

               Montrer que     u n     ≥  2    implique   u n + 1     ≥  2 .    

            ( Caractère héréditaire )

              ( En s'appuyant sur  u n     ≥  2  on montre que  u n + 1     ≥  2 . )

               (    Comme pour monter un escalier on s'appuie sur une marche

                 pour se hisser sur la marche suivante )

               -----------------------------------------        Arrêt  de la séance -------------------------

             Poursuivre  pour vendredi la démarche.

            Faire les ex n° 46 , n° 47 , n° 48 pour vendredi 16 avril 2010.

              ( sur le sens de variation )