INFO 1 BTS1 PROBA V.A.R.

                  INFO TEST     BTS              PROBA.   V.A.R.          30 Mars 2010                     

               EXERCICE 1.

        Une grande marque automobile TAYOTO   produit des voitures 

        qui sont souvent  encore inachevées  au moment de la livraison.

        Ainsi les années passées 25% des véhicules ont du bénéficier d'un rappel 

        pour mauvais fonctionnement de quelques organes  comme les  freins,

        la direction ou le régulateur de vitesse.

        Un concessionnaire a livré  36 clients au mois de mars.

        On admet que les rappels  sont  indépendants.     

        Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de véhicules qui  vont devoir,

        sous peu, revenir au garage pour réparation.

 

  1.  Donnons la loi suivie par la variable aléatoire X.

          On répète 36 fois une épreuve de Bernoulli dont les deux issues sont

          « Rappel »  et  « Pas Rappel » avec p = 0,25 la probabilité de «  Rappel ».

          X indique le nombre de « Rappel ».

          Donc :

         Conclusion :  X suit la loi binomiale de type B( 36 ; 0,25 )

 2.  Donnons le nombre de rappels auquel doit s’attendre le concessionnaire.

                   Il s’agit de l’espérance de X.

                   Comme X est de binomiale de paramètre n =36 et p = 0,25

                   on a :

                      E( X ) = 36 × 0,25 = 9

                     Conclusion : Le concessionnaire peut estimer que 9 véhicules vont  revenir.

  3.  Calculons P( X ≥ 2 ).

                  On a :

               P( X 2 ) = 1 - P( X = 0 ) - P( X = 1 )

                    c-à-d  

             P( X ≥ 2 ) = 1 -  C360   0,250  ×   0,7536    - C360,25×   0,7535    

     

             Ainsi :

                       Conclusion : P( X ≥ 2) ≈ 0,9995                  

    Calculons P( 2 < X <  5 ) .

    On a :  P( 2 < X <  5 )  =  P( X = 3 ) + P( X = 4 )

      c-à-d

    P( 2 < X <  5 )  =   C363   0,253  ×   0,7533    - C360,25×   0,7532    

                Conclusion :  P( 2 < X <  5 )   ≈ 0,03151

    4. Donnons la probabilité que le constructeur ait déboursé 4750 euros.

      On a :           4750 = 950 × 5

           Ce coût de 4750 euros correspond à un rappel de 5 voitures.

           La probabilité cherchée est donc P( X = 5 ).

          Or

          P( X = 5 )  = C36 5  0,255 × 0,7531 

              

                      Conclusion : P( X = 5 )  ≈  0,0493

    5.a. Donnons le paramètre  .

            L’espérance de Y est le paramètre  λ  de Y.

                 c-à-d

             E( Y ) = λ  

             X et Y doivent avoir  la même espérance.     

             Donc      λ = E( X ). 

               Conclusion : λ = 9      

    b. Donnons  P( Y = 5 ).

            D'après  la table de Poisson on a à l'intersection de la colonne de λ  = 9

             avec la ligne de k = 5:     

       Conclusion :   P( Y = 5 )   ≈  0,061 

     c. Trouvons  P( Y < 5 ).

         On a :

     P( Y < 5 ) =   P( Y = 0   )  +   P( Y =  1 )  + P( Y =  2 )  + P( Y = 3  )  + P( Y= 4  ) 

     D’après la table de Poisson on a :

     P( Y < 5 )    0,000 + 0,001 +  0,005 + 0,015 + 0,034

          Conclusion :   P( Y < 5 )   ≈    0,055