INFO EX 6 DV n°7 TS1 12/01/13

              INFO  EXERCICE 6      DV   n° 7    TS1     12/01 / 13

            EXERCICE 6

                      On se propose d'étudier la suite ( un ) définie sur l'ensrmble des entiers naturels IN par:

                                u0  = 1  

                             suiteu.png

                         puis la convergence de la suite ( Sn )  définie par:

                                somme.png

                         pour tout entier n.

         1. a. Montrons que :  un  ≥ 0   pour tout n dans IN.

                        Faisons une récurrence sur IN.

                  positif.png

                     Conclusion : OUI. La suite ( un ) est à termes positif sur IN.

              b. Montrons que la suite ( un ) est décroissante sur IN.

                      Il nous suffit de montrer que :

                      decroissante.png

                     On peut éviter une récurrence.

                   On a :

                         demdecroiss.png

                        Donc:

                            decroissante.png

                     Conclusion: OUI. La suite ( un  ) est bien décroissante sur IN.

        c. Déduisons que la suite converge et trouvons sa limite.

             La suite ( un) a les deux particularité:

                    •  Elle est minorée par 0 sur IN car elle est à termes positifs.

                    • Elle est décroisante sur IN.

            ces deux particularité d'après une propriété admise du cours

          font qu' elle converge c-à-d qu'elle admet une limite finie L.

           en outre L ≥  0.

                L'égalité

                  suiteu.png

                à la limite va devenir     L = e - L

                En effet: ( à dire )

                    On a :

                    relation.png

                    On a utilisé en fait la continuité en L de la fonction 

                          fonction456.png

                    Résolvons le système d'informations:

                                  syst.png

                          SURTOUT NE SIMPLIFIEZ PAS PAR L

                           sans quoi vous interdisez L = 0

                         On a:

                                 syst2.png

                     c-à-d

                                syst3.png

                    c-à-d

                               syst4.png

               c-à-d

                                syst5.png

              c-à- d               L = 0 

                      Conclusion: La suite converge vers 0.

       2. Montrons que:

                             ega.png 

                Faisons une récurrence sur IN.   ( Il faut annoncer une récurrence )

                 • n = 0 

                        form147.png

                  L'égalité est avérée pour n = 0

               • Soit n dans IN quelconque.

                    Montrons que si 

                             impli.png

                   Considérons:

                              form357.png

                              form9573.png

                             La formule est donc vraie au rang n + 1

                               Conclusion: L'égalité est prouvée sur IN.

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