1S DS n° 1 OCT.

 

             1S            Devoir surveillé n°1   08 / 10 / 08   55 mn


       EXERCICE 1.

                                         Soit la fonction  f : x→ 2 x3  - 3 x2  + x.

               1. Résolvons l'équation f( x ) = 0 .

                     Considérons   2 x3  - 3 x2  + x = 0    

                     c-à-d    x (  2 x2  - 3 x  + 1 ) = 0

                     c-à-d    x = 0 ou  2 x2  - 3 x  + 1  = 0

                    1 est une racine évidente de l'équation 2 x2  - 3 x  + 1  = 0.

                      (  En effet :   2 - 3 + 1 = 0 . )

                      L'autre racine est donc c / a   = 1 / 2

                          Ainsi:  2 x3  - 3 x2  + x = 0     <=>  ( x = 0  ou  x = 1 ou  x  = 1 / 2 ) 

 

 Conclusion:  SIR = {0 ;  1/ 2  ; 1 }

                 2. Résolvons l'inéquation : 2 x2  - 3 x  + 1  < 0.

                     a = 2         Les racines sont 1 et  1 / 2.

                    Nous voulons que  2 x2  - 3 x  + 1  soit du signe de - a  et non nul.)

                    Donc nous devons prendre x entre les racines en les excluant.

 Conclusion:  SIR = ] 1/ 2  ; 1  [

                 3. Soit la fonction g : x→ 2 x2  - 3 x  + 1.

                           a. Mettons g( x ) sous la forme " canonique"

                                g( x ) =  a ( x + b/ ( 2 a ) )2  -  Δ / ( 4 a )  .

                                a = 2      b = - 3          c = 1

                                   Δ = b2  - 4 a c                Δ = 9 - 8 = 1  

                           

 Conclusion:  g( x ) =  2 ( x - 3 / 4  )2   -1 / 8  

                        b. Traçons la parabole P: y = 2 x2 .

                            Traçons la courbe ( C ): y =  2 x2  - 3 x  + 1.

                             Traçons la droite D: y = 3 x - 1

                            On a:         ( C ) :  y = 2 ( x - 3 / 4  )2   - 1 / 8   

                 ( C ) est l'image de la parabole P : y = 2 x2 

                          par la translation de vecteur 

                         3 / 4 vect( i ) - (1 / 8) vect( j ).

                                c.  Résolution  graphique de g( x ) = 0.

                                  •  Méthode 1.          P rencontre D en deux points dont les abscisses sont

                                                             1 / 2 et 1 . D'où l'ensemble solution { 1 / 2 , 1 }.

                                  •  Méthode 2 .           La parabole  ( C ) tracée coupe l'axe des abscisses en deux

                                                           points dont les abscisses sont  1 / 2  et 1.

                                                           D'où le même ensemble solution { 1 / 2 , 1 }.

                                 d. Tableau de variation de g.                            

    

x - ∞                    3 / 4                              +∞
g( x )              \          - 1 / 8               /
                  4. Simplifions   A = ( 2(3 n )  × 62  ) /   8n+1 

                 On a :  A = ( 8  × 62  ) /   ( 8n × 8 )    car   2(3 n )  = ( 23 )n

                               A  =   62 /  8 = 36 / 8 = 9 / 2 

                 Conclusion:   

A = 9 / 2
                    

 

        5. Soit Q( x) = 3 x4  - 2 x2 - 1 . 

            Résolvons  3 x4  - 2 x2 - 1 = 0.           ( 1 )

            c-à-d            X = x2                      ( 2 )

                              3 x2  - 2 x - 1 = 0           ( 3 )

          ( 3 ) admet        1 comme racine évidente. ( En effet : 3 - 2 - 1 = 0 )

                                   L'autre est donc c / a = - 1 / 3

                  Comme X doit être positif on retient pour X la valeur 1.

              ( 1 ) équivaut à   1 = x2     c-à-d    x = 1 ou x = - 1.

 

CONCLUSION : SIR ={  - 1 ; 1 }
          

          EXERCICE 2

                        1. Soit P( x ) = a x² + b x  + c      avec a non nul et

                               a , b , c des réels.

                             Soit P( x + 1 ) - P( x ) =x pour tout réel x

                            avec P( 1 ) =0

                            Trouvons P( x ).

                            On a:     P( x + 1 ) = a ( x + 1 )² + b ( x + 1 ) + c

                                             P( x ) = a x² + b x + c

                                            --------------------------------------

 Par soustraction:       P( x + 1 ) - P( x ) = a (  ( x + 1 )² - x² ) + b( ( x + 1 ) - x ) 

       c-à-d                        P( x + 1 ) - P( x ) = a ( x+ 1 - x ) ( x + 1 + x ) + b

       c-à-d                       P( x + 1 ) - P( x )  = a ( 2 x + 1 ) + b 

       c-à-d                       P( x + 1 ) - P( x ) = 2 a x + a + b

         Or                     P( x + 1 ) - P( x ) = x            pour tout réel x.     

          D'où par identification:        2 a =  1

                                                            a + b = 0                                     

          Mais                P( 1 ) = 0            c-à-d             a + b +c = 0 .

 

             Ainsi :                     a = 1 / 2            b = - 1 / 2            c = 0   

 Conclusion :           P( x ) =( 1 / 2 ) x² - ( 1 / 2) x    

              2. Déduisons que:

                           1 + 2 + ........... + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2    pour tout entier naturel non nul.

                      On a:           1 = P( 1 + 1 ) - P( 1 )    pour x = 1

                                            2 = P( 2 + 1 ) - P( 2 )     pour x = 2

                                             .................................

                                            n = P( n + 1 )- P( n )         pour x = n

                                          ---------------------------------

  En sommant:             1 + 2 + ..................+ n = P ( n + 1 ) - P( 1 ) = P( n + 1 )

                                         P( n+ 1 ) = ( 1 / 2 ) ( n + 1 )² - ( 1 / 2 ) ( n + 1 )

                                        P( n + 1 ) = (( n + 1 )( n + 1 - 1 ) )/ 2

              Ainsi on a bien:         1 + 2 + ......... + n = ( ( n + 1 ) n ) / 2  

 

  Conclusion:         1 + 2 + ........ + n =  ( n ( n + 1 ) ) / 2  

                          pour tout entier naturel non nul

                  4. Application:   1+ 2 + ... + 999 = ( 999 ×1000 ) / 2 = 499500