DS n° 8 12 Mai 2010 1S1

              DS n° 8                        Mercredi 12 Mai 2010            1S1                2 Heures

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    EXERCICE 1               10 POINTS  

                      Soit la fonction  rationnelle :

                                f : x  ( x² + x - 2 ) / ( x - 2 )               

                  Soit ( C ) sa courbe représentative dans le plan muni

                      d’un repère orthonormal   ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

       1.  Trouver les réels a , b  et c tels que :

                f( x ) = a x + b + c / ( x - 2 )    pour tout  x  dans IR- { 2}.       

       2.   a. Montrer que l’expression de la fonction dérivée de f  est:

                 f ' ( x ) = ( x ( x - 4 ) ) / ( x - 2 )²     pour tout  x  dans  dans IR- { 2}.    

             b. Donner le sens de variation de  f .

       3.  Dresser le tableau de variation de  f .

       4.   Montrer que la courbe  ( C ) de la fonction   

            admet comme asymptote oblique la droite

            D : y = x + 3 en +  ∞ .

       5.   Montrer que la courbe  ( C ) de la fonction     

            admet comme asymptote verticale , la droite D’ : x = 2.

       6. Tracer dans le même repère, les droites D et D’, la courbe ( C ) de f  .

            On reproduira et complètera le tableau de valeurs :

x

- 2

0

1

3

4

5

f ( x )

 

 

 

 

 

 

      7.  Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe ( C )  au point d’abscisse 1.                                          1/2

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       EXERCICE 2.      10 POINTS

      1.  Soit la suite ( h ) définie sur IN par :              

                           hn  =  ( n - 2 ) / ( n + 2 )        pour tout n dans IN

          a. Donner le sens de variation de la suite ( h ).

          b. La suite ( h ) est-elle bornée par – 1 et 1 sur IN ?

          c. Quelle est la limite de  hn   quand n  tend vers  + ∞ ?

        2.      Soit la suite numérique ( v ) définie  par :          

                       v= 5 n - 3          pour tout n dans IN.

             a.  La suite ( v ) est-elle arithmétique ? géométrique ? quelconque ?

             b.  Calculer   v10 .

             c.  Calculer la somme   S = v1 + ......+  v10   .

         3.  Soit la suite numérique ( w ) définie  par                      

                                 wn  = 3n  / 5n - 1      pour tout n dans IN.

                a.   Calculer  w0   .

                b.   Montrer que pour tout n dans IN :

                             wn  =  w0   qn          q  est un réel que l’on donnera.

                c.  La suite numérique ( w ) est-elle une suite géométrique ?

      4.  Soit la suite numérique ( u ) définie  sur IN  par :

                        u0 = 1        

                        un + 1 =  -3 / un          pour tout n dans IN.

               a. Trouver    u1    ,    u2     ,     u3    ,   u4    .

               b. Que pouvez –vous conjecturer sans calcul

                     pour la valeur de u1000 ?

        5.      Soit la suite arithmétique ( k ) définie sur IN telle que :   

                             k4   = 16       et    k 8  = 36                                                                                                            

                a.      Trouver  son premier terme.

                 b.      Trouver sa raison.

                 c.  Déterminer  k20.

                                                                                                                                                                  2/2   

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