INFO EX EQUAT. DIFFERENTIELLE

             INFO  EXERCICES  SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES         20 OCTOBRE     2010         TS2

          EXERCICE 1
             

                    1. Donner le sens de variation de la fonction g : x→ x2 e- x  .

                        La fonction g est définie et dérivable dans IR comme produit u × w  de telles fonctions:

                           u : x → x

                           w :  x →  e- x     

                         La fonction w étant elle même la composée  e v   (  c-à-d   v ο exp  )  des fonctions

                         exp:  x →  e x     puis   v : x →  - x 

                         qui sont définies et dérivables dans IR.

                          exp ' = exp    et   v ' :  x →  - 1

                        On a :   w ' :  x →  v ' ( x ) ev( x )      c-à-d     w  ' :  x →  - e- x   

                    Soit x dans IR .

                          On a :  g' ( x ) = u '( x ) × w( x ) + u( x ) × w ' ( x )

                          c-à-d   

                                    g' ( x ) = ( 2 x ) × e- x    +   x2  ×( - e- x   )

                       c-à-d     

                                   g' ( x ) =  e- x    (  2 - x  ) x

       Comme exp > 0 sur IR  g ' ( x ) est du signe de   (  2 - x  ) x .

        Ainsi  d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré 

          - x2 + 2 x =  (  2 - x  ) x

        qui s'annule pour x = 0  et  pour x = 2  

        avec a = - 1  comme cœfficient de  x2

        on peut donner le signe de g ' ( x ) . 

        Il en résulte le sens de variation de g.

                       Conclusion : Le sens de variation de g est :                      

x - ∞                      0                    2                       + ∞ 
g ' ( x )               -            0         +         0               -
g ( x )           ↓                0          ↑         4 e- 2            ↓      

                   2. Soit l'équation différentielle y ' = - y + 2 x e- x       notée ( 1 ).

                      a. Montrer que la fonction g est une solution de ( 1 ).

                          Soit x dans IR quelconque.

                          On a :   g ' ( x ) =   e- x    (  2 - x  ) x

                           Or         - g ( x )  + 2 x e- x  = - x2 e- x   + 2 x e- x  

                           c-à-d        - g ( x )  + 2 x e- x    =   e- x    ( - x+ 2 x  )

                          c-à-d            - g ( x )  + 2 x e- x    =   e- x    ( - x  + 2  ) x  = g '( x )

                         Donc            g ' ( x ) =  - g ( x )  + 2 x e- x      pour tout x dans IR.

       Conclusion : g est bien une solution particulière de l'équation  de (  1 ).

                      b. Résoudre l'équation différentielle y ' = - y     notée ( 2 ) .

                             Elle est de la forme   y ' = a y     avec    a = - 1 

                             Donc la solution générale ( ou intégrale générale ) est :

                                  x →  C ea x        avec C dans IR

                           Conclusion :  La solution générale est de la forme                

                                                x  → C  e- x     avec C dans IR .       

                      c. Soit f une fonction définie et dérivable sur IR.

                             Montrer que :

                             f est solution de (  1 )  si et seulement si  f - g est solution de (  2 ).

 f est solution de (  1 )  ssi   pour tout x dans IR ,  f ' ( x ) =  - f( x ) + 2 x e- x  

   c-à-d          , comme   pour tout x dans IR  g ' ( x )  = -  g( x ) +  2 x e- x   par soustraction,

 f est solution de (  1 )  ssi    pour tout x dans IR ,  f ' ( x ) g ' ( x )  =  - f( x ) + 2 x e- x   - ( -  g( x ) +  2 x e- x   )

     c-à-d    

   f est solution de (  1 )  ssi    pour tout x dans IR ,  ( f - g )'( x )    =  - ( f( x ) - g( x ) )  +  2 x e- x   -  2 x e- x

     c-à-d    

 f est solution de (  1 )  ssi    pour tout x dans IR , ( f - g )'( x )    = - ( f( x ) - g( x ) )

   c-à-d

   f est solution de (  1 )  ssi    pour tout x dans IR , ( f - g )'( x )    = - ( f - g )( x )

  c-à-d   

    f est solution de (  1 )  ssi   ( f - g ) '    = - ( f - g )     sur IR 

 c-à-d   

     f est solution de (  1 )  ssi    f - g   est solution de ( 2 )    

          Conclusion : L'équivalence est prouvée.   

        d. En déduire la solution générale de  ( 1 ) .

      D'après l'équivalence précédente et la résolution faite de ( 2 ) on peut dire :

        f est solution de (  1 )  ssi     f - g est de la forme   f - g  : x  →    C e- x     avec C dans IR

         c-à-d

        f est solution de (  1 )  ssi     f est de la forme     f : x  →  g( x ) +  C e- x     avec C dans IR

          c-à-d

            f est solution de (  1 )  ssi     f est de la forme     f : x  →   x2 e- x    +  C e- x     avec C dans IR

       Conclusion :   La solution générale de ( 1 ) est de la forme  

                                x  →   x2 e- x    +  C e- x     avec C dans IR

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                Rappel:   Soit u une fonction définie et derivable dans un intervalle I.

                               Alors la fonction eu   est aussi définie et dérivable dans I et l'on a :

                                 ( eu     ) ' = u '   e

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           EXERCICE 2           

                 1.  Résoudre les équations différentielles suivantes:

                     a.   y ' = 3 y

                     Elle est de la forme y ' = a  y   avec   a = 3 .

                    Donc,  d'après le cours, la solution générale est de la forme 

                             x  →   C ea x   avec  C dans IR .

                   Ici :

          Conclusion :     La solution générale est  de la forme  x  →  C e3x   avec  C dans IR  

                      b.   y ' = 3 y + 7   

                         Elle est de la forme y ' = a  y + b   avec   a = 3  et  b = 7.                         

                          Donc,  d'après le cours, la solution générale est de la forme 

                             x  →   C ea x   - b / a      avec  C dans IR .

                     Ici :    

   Conclusion :     La solution générale est  de la forme 

                              x  → C e3x   - 7 / 3     avec  C dans IR              

                 2.  Trouver pour chacune la solution particulière qui vaut 5 en x = 2  

                   a.   Soit   g :    x  →   C  e3 x   avec C dans IR .

                        Imposons   g( 2 ) = 5   

                        c-à-d        C   e   = 5

                       c-à-d      C = 5  e- 6   

                       Soit x dans IR.

                        Reportons   C dans l'expression de g.

                       On a :          g( x ) = 5  e- 6   e3 x   = 5 e3 x - 6

                         c-à-d        g( x ) = 5  e3 ( x - 2 )

     Conclusion :     La solution particulière est  x  →  5  e3 ( x - 2 )   

                        b.   Soit  h : x  →   C  e3 x   - 7 / 3      avec C dans IR .

                          Imposons   h( 2 ) = 5 

                         c-à-d        C   e  - 7 / 3  = 5

                       c-à-d        C    e   =  7 / 3  +  5   =  22 / 3

                        c-à-d        C      = ( 22 / 3 )  e- 6                      

                       Soit x dans IR.

                        Reportons   C dans l'expression de h.

                             h ( x ) = ( 22 / 3 )  e- 6  e3 x   - 7 / 3

                            c-à-d      h ( x ) = ( 22 / 3 )  e 3 ( x - 2 )   - 7 / 3

        Conclusion :     La solution particulière est  x →  ( 22 / 3 )  e 3 ( x - 2 )   - 7 / 3 

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           EXERCICE 3

                 1. Résoudre l'équation différentielle :

                              5 y ' + 3 y - 1 = 0       ( 1 )

                   Elle s'écrit  :           y '  = ( - 3 / 5 ) y + 1 / 5

                   Elle est de la forme :    y  ' =  a y + b   avec a = - 3/ 5   et b = 1 / 5

                  La solution générale est de la forme

                        x  →   C ea x   - b / a      avec  C dans IR .

                 Ici  comme          - b / a  =  - ( 1 / 5 ) / ( - 3 / 5 ) = 1 / 3

                Conclusion :     La solution générale est de la forme :

                             x  →   C e( - 3  / 5 ) x   +  1 / 3       avec  C dans IR .   

        2. Trouver la solution particulière g de ( 1 ) telle que g( 0 ) = 1.   

            Soit   g( x ) =    C e( - 3 / 5 ) x   + 1 / 3 

             Imposons    g( 0 ) = 1

             c-à-d      C e0   + 1 / 3  = 1

            c-à-d      C = 1 -  1 / 3

             c-à-d      C = 2 / 3

            Soit x dans IR .

             En reportant

                g( x ) = ( 2 / 3 ) e( - 3 / 5 ) x   + 1 / 3 

            

    Conclusion :     La solution particulière cherchée est :

                            x  →  ( 2 / 3)  e( - 3  / 5 ) x   +  1 / 3    

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