INFO LISTE 2 EX . PROB BTS1

LISTE D'EX    SUR LES PROBABILITES         BTS1      DEC .   08


 

     EX.4.   (  Cas où on n'est pas dans une situation d'équiprobabilité)

          On lance un dé " pipé" dont les faces sont numérotées : 1;2;3;4;5;6.

         On note p1 ,  p,    .....  , p6  les probabilités des événements

        élémentaires.

        Ainsi:  P ( { 1 } ) =  p1  

                         P ( { 2 } ) =  p2  

                         .........................

                         P ( { 6 } ) =  p6

         (   Mais attention  comme le dé est truqué on n'a pas

             p1 =  p=    .....  = p6  = 1 / 6     )

              On a les conditions suivantes:

                  • 2  p1    = 3  p4  

                 •  p1    ,   p2      ,   p3    sont les trois premiers termes d'une

                     suite géométrique de raison  1 / 2 .                     

                 • p4    ,   p5      ,   p6    sont les trois premiers termes d'une

                     suite arithmétique de raison  1 / 8 .

             1. Trouver p1  et p2 .

                 Trouver ensuite les autres probabilités    p3   , p4    ,   p5      ,  p6    .

            2.   Soit A l'événement " Obtenir un chiffre pair " .

                   Donner P( A ) .

                  Si le dé n'avait pas été truqué alors qu'aurait -on pour la probabilité de A ?


   REP .        1.  Trouvons  p1  et p2 .

                        On dispose des information suivantes:

                          p1 +  p+   .....  +  p6  = 1       ( 1 )

                       ( D'apès la définition d'une probabilité )

                          2  p1    = 3  p4     Donc      p4     = ( 2 / 3 )  p1   

                                   p3   ( 1/2  )2  p1      et    p2   ( 1/2 )  p1

                                   p6   = 2×( 1/8  ) +  p4      et    p5   = ( 1/8 ) + p4   

                     Nous allons remplacer dans l'égalité ( 1 ) les probabilités

                       p,   .....  ,  p6     en fonction de p1 .

                      On aura alors une égalité où la seule inconnue sera  p1 .

                             On pourra donc trouver  p. Ensuite en cascade on obtiendra les autres

                       probabilités demandées.

                      ( 1 ) s'écrit :

   p1 ( 1/2 )  p  ( 1/2  )2  p1 + ( 2 / 3 )  p1    + [ ( 1 / 8 ) +( 2 / 3 )  p1  ] + [ 2×( 1 /8 ) +( 2 / 3 )  p1  ]  = 1    

     c-à-d         p(  1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) + ( 2 / 3 ) + ( 2 / 3 ) + ( 2 / 3 )  ) + ( 1 / 8 ) + ( 2 / 8 ) = 1

        c-à-d            p(  1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) +  ) + ( 3 / 8 ) = 1                 

  c-à-d              p(  1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) + 2 )= 1 - ( 3 / 8 )

   c-à-d           p(  3 + ( 3 / 4 ) ) = 5 / 8

 c-à-d             p(  15 / 4 ) ) = 5 / 8

  c-à-d            p =   ( 5 / 8 ) ( 4 / 15 )  = 1 / 6 

                Donc     p =  1 / 6 

                Ensuite   p2   ( 1/2 )  p= ( 1 / 2 )( 1 / 6 ) =  1 / 12

                Puis        p3   ( 1/2  )2  p1     =  ( 1 / 4 ) ( 1 / 6 ) = 1 / 24

                Puis         p4     = ( 2 / 3 )  p1   = ( 2 / 3 ) ( 1 / 6 ) = 1 / 9 

                Puis      p5   = ( 1/8 ) + p4     =   ( 1 / 8 ) + ( 1 / 9 ) = 17 /72

                      Puis      p6   = 2×( 1/8  ) +  p4   = ( 1/ 4 )  + ( 1 /9 ) = 13 / 36

  Conclusion:                   p =  1 / 6 

                                       p2    1 / 12

                                        p3    1 / 24

                                       p4     = 1 / 9 

                                        p5   = 17 /72

                                             p6   = 13 / 36

                  2 . Donnons P( A ).

                   P( A ) =  p2   +  p4   +  p6    = ( 1 / 12 ) + ( 1 / 9 ) + ( 13 / 36 )

             Donc          P( A ) =  ( 16 / 36 )  + ( 1 / 9  ) = ( 4 / 9 ) + ( 1 / 9  )

              Conclusion:               P( A ) = 5 / 9

                                   Au lieu de  1 / 2 si le dé n'était pas truqué.

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