INFO EX7 LISTE 1 1S LIMITES

INFO EX 7       LISTE  1 D'EX SUR LES LIMITES    S   5 Janvier 2009

 

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      EX.7        Soit la fonction f : x →  cos x   / ( 1 + x² )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    1. Encadrer f par deux fonctions.

                    2. Trouver la limite de f en + ∞.

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  REP       La fonction f est définie dans IR. 

              1. Encadrons f.

                  Pour tout x dans IR  on a       - 1 =< cos x  =< 1 .

               Donc en multipliant chaque membre par le quotient posisif  1 / ( 1 + x² )

 

                il vient :   - 1 / ( 1 + x² )   =<   cos x  / ( 1 + x²  )   =<  1 / ( 1 + x² )

                 c-à-d     - 1 / ( 1 + x² ) =< f( x )  =<  1 / ( 1 + x² )

               Conclusion : On a bien encadé   f( x )  pour tout réel x.

                2. Trouvons  la limite de f en + ∞.

                     + ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .

                      On faire la recherche.

                     Comme lim ( 1 + x²  ) = lim x²  = + ∞

                                    x →   + ∞        x  →+ ∞

                       On a     lim - 1 / ( 1 + x² )  = lim  1 / ( 1 + x² ) = 0

                                    x →   + ∞                x →   + ∞  

                       avec l'encadrement de la question 1. et le th. des gendarmes on peut

                      conclure que   lim   cos x /( 1 + x²  ) = 0

                                             x →   + ∞      

 

                    Conclusion    lim   f( x )  = 0

                                        x →   + ∞    

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