INFO DV n° 7 TS spé 14 mars 2017

                  INFO DV n° 7      TS Spé. Math.  14 mars 2017   Arithmétique

        EXERCICE .

        1.  Démontrons le Th. d Gauss.

           Soit a ,b , c des entiers relatifs tels que:      PGCD( a , b ) = 1   et   a | bc

           Montrons que cela implique   a | c

           Cela sous entend que ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) 

           Comme on suppose que a et b sont premiers entre eux,

           d'après le Th. de Bezout:

            Il existe un couple ( u , v ) d'entiers relatifs tels que 

               a u + b v = 1

            Multiplions chaque membre par c , on obtient :

              a× cu + bc × v = c

            Mais on a supposé aussi que:   a | bc .

             Or  on a également:                   a | a    

           D'où                    a |   a × cu + bc × v

           c-à-d                   a | c

           On bien montré l'implication.

           Conclusion :

                   Le Th. Gauss est démontré

     2. Soit p, q deux entiers naturels premiers entre eux .

          Soit a un entier relatif tels que :   a ≡ 0 [ p ]   et   a ≡ 0 [ q ]

          Montrons que : a ≡ 0 [ p q ] .

          On a    a 0 [ p ]  qui se traduit par :  Il existe un entier relatif k tel que a = k p

          Mais   a 0 [ q ]     se traduit par q | a.

          c-à-d     q | k p

         Or   PGCD( p , q ) = 1

         Alors,  d'après le Th. de Gauss,    q | k.

        c-à-d    il existe un entier relatif k ' tels que k = k ' q

        Ainsi,  en reportant,   a = k ' q p

       On peut dire:   il existe un entier relatif k ' tels que   a =  k ' p q

       c-à-d                    a 0 [ p q ]

           L'implication est démontrée.

          Conclusion : Le résultat est avéré.

     Partie B.

             On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système:

                                      9 [ 17 ]

                                       n    3 [ 5 ] 

        1. Recherche d'un élément de  S.

             On désigne par ( u , v ) un couple d'entiers relatifs tel que  17 u + 5 v = 1

                 a. Justifier l'existence d'un tel couple ( u , v ).

                    Algorithme d'Euclide:      17 < 5

                                    17 = 5 × 3 + 2

                                    5 = 2 × 2  +  ​1 

                                    2   =  2 × 1 + 0

                        Donc       PGCD( 17 , 5 ) =  

                    D'après le Th de Bezout cité plus haut on peut en déduire

                   qu'il existe un couple d'entiers relatifs ( u , v ) tel que  17 u + 5 v = 1

                 Conclusion:  L'existence est prouvée.

                 b.  On pose n0 = 3 × 17 u + 9 ×  5 v .

                   Démontrer que n0 appartient à S.

                    On sait que :    17 u + 5 v = 1      ( 1 )

                     • ( 1 ) s'écrit:        17 u = 1 − 5 v  

                       Reportons dans  n0 = 3 × 17 u + 9 ×  5 v  .

                      Il vient :      n0 = 3 × ( 1 − 5 v  ) + 9 ×  5 v

                       c-à-d      n0 = 3  − 3 × 5 v   +  9 ×  5 v

                        c-à-d       n0 = 3  + 6 × 5 v   

                      Donc:       n0    3   [ 5 ]  

                   • ( 1 ) s'écrit aussi:        5 v = 1 − 17 u 

                      Reportons dans  n0 = 3 × 17 u + 9 ×  5 v  .

                        Il vient :      n0 =  3 × 17 u + 9 × ( 1 − 17 u  )

                         c-à-d          n0 =  3 × 17 u + 9  − 9 × 17 u  

                          c-à-d          n0 =  9 − 6 × 17 u  

                         Donc :    n0   9   [ 17 ]      

                      • Ainsi finalement :       n0 ≡ 9 [ 17 ]

                                               et         n0 ≡ 3 [ 5 ]                  

                  Conclusion : On a  n0  qui est bien dans S    

             c. Donner un exemple d'entier n0 appartenent à S.

                  Il suffit de trouver deux entiers relatifs u et v qui vérifient 

                  17 u + 5 v = 1   puis de les reporter dans n0 = 3 × 17 u + 9 ×  5 v 

                 pour trouver un n0 .

                 Reprenons l'algorithme d'Euclide:

                            17 = 5 × 3 + 2

                               5 = 2 × 2 + 1

               Donc    1 = 5 − 2 × 2

               Mais     2 = 17 − 5 × 3

               D'où     1 = 5  − (  17 − 5 × 3  ) × 2

               c-à-d     1 =  −   17  × 2 +  7 × 5

              c-à-d     1 = ( −  2 ) × 17 + 5  × 7

            Prenons:        u =  −  2   et   v  = 7

             Alors  n0 = 3 × 17 × ( −  2 ) + 9 ×  5 × 7 

            c-à-d     n0 = 213

         Conclusion:     n0 = 213

         2. Caractérisation des éléments de S .

         a. Soit un entier relatif appartenant à S.

            Démontrer que n  −   n0   0  [ 85 ]  .

              85 = 17 × 5

           On a: 

             •  n ≡ 9 [ 17 ]    et   n0 ≡ 9 [ 17 ]  

                Donc:           n −  n0 ≡ 9 − 9 [ 17 ]   c-à-d    n −  n0 ≡ 0  [ 17 ]        ( 2 )

             • ≡ 3 [ 5 ]    et   n0 ≡ 3 [ 5 ] 

                Donc:       n −  n0 ≡ 3 − 3 [ 5 ]   c-à-d          n −  n0 ≡ 0  [ 5 ]          ( 3 )

        Comme PGCD( 17 , 5 ) = 1 , le résultat de la question 2. de la

         partie A  permet de dire :

                               n −  n0 ≡ 0 [ 17× 5 ]

             c-à-d          n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]

            Conclusion: On a bien montré que:  n dans S implique    n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]

       b. En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et seulement

           si n peut s'écrire sous la forme : n = 43 + 85 k où k est un entier relatif.

               Soit n un entier relatif.  On a montré que :

            • On a montré que :  n dans S  ⇒  n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]

            •  Montrons que réciproquement:     n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]   ⇒    n dans S

                n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]   c-à-d      n −  n0 ≡ 0 [ 17× 5  ]

           Cela implique  n −  n0 0 [ 17 ]   et   n −  n0 ≡ 0 [  5  ]

                        Or    n0 ≡ 9 [ 17 ]    et  n0 ≡ 3 [  5  ]  

           Par somme respectives:

                   n −  n0 + n0  ≡ 9 [ 17 ]     et      n −  n0 + n0  ≡ 3 [ 5 ]  

           Ainsi :               n ≡ 9 [ 17 ]    et  n ≡ 3 [  5  ]  

          c-à-d     n  est dans S

            L'équivalence est avérée.

            Montrons la seconde équivalence.

          On a vu que  n0 = 213   convenait

              n dans S   ⇔  n −  n0 ≡ 0 [ 85 ]

           se traduit par:      n dans S   ⇔    n −  213 ≡ 0 [ 85 ]

           c-à-d       n dans S   ⇔    ≡ 213 [ 85 ]

            Or                                         213 = 85 × 2 + 43

            Donc :     n dans S   ⇔    ≡ 43 [ 85 ]

            c-à-d

           n dans S   ⇔    Il existe un entier relatif k tel que n = 43 + 85 k

           Conclusion:  L'équivalence est avérée.

    3. Application:

              Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.

              • Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

              • Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.   

                 Combien a-t-elle de jetons?

           REPONSE:

                Soit n le nombre de jetons de Zoé.

               On a:      300 ≤ n ≤ 400

         • Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

             Cela se traduit par: le reste de la division de n par 17 est 9.

             c-à-d               n ≡ 9  [ 17 ]            

          • Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.   

           Cela se traduit par: le reste de la division de n par 5 est 3.

             c-à-d               n ≡ 3  [ 5 ]

          Ainsi n vérifie     n ≡ 9  [ 17 ]      et      n ≡ 3  [ 5 ]

           c-à-d   n appartient à S

          c-à-d  Il existe un entier relatif k tel que n = 43 + 85 k

             avec  300 ≤ n ≤ 400

         Déterminons k grace à l'encadrement.

                           300  ≤     43 + 85 k ≤ 400

           c-à-d      300 − 43   ≤    85 k ≤ 400 − 43

           c-à-d             257  ≤    85 k   ≤  357

           c-à-d       257 / 85    ≤   k   ≤    357 / 85

            Mais     257 / 85 ≈  3,02         et        357 / 85 ≈  4,2  

            Donc  k = 4

            Reportons dans   n = 43 + 85 k

            Il vient :    n =  43 + 85 × 4 = 383

            Conclusion:  Zoé avait   383    jetons.

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