INFO LISTE 2 EXERCICES ( SUITE ) 1S1 Sept. 09
♦ EX 4. a. Résoudre chacune des équations suivantes dans l'ensemble des nombre réels:
x 2+ x + 1 = 0 3x 2+ 6x +3 = 0 - x 2+3 x - 2 = 0
b. Représenter soit à l'aide de la calculatrice soit à l'aide GEOGEBRA les courbes des
fonctions: f : x → x 2+ x + 1 h : x → - x 2+3 x - 2
g : x → 3x 2+ 6x +3
Retrouver les ensembles solutions graphiquement.
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Réponse: a. • Résolution de l'équation x 2+ x + 1 = 0 dans IR.
Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3
Donc Δ < 0
Conclusion : S = Ø
• Résolution de l'équation 3x 2+ 6x +3 = 0 dans IR.
L'équation s'écrit : x 2+ 2 x +1 = 0 .
Méthode 1. On a ( x + 1 )² = 0
c-à-d x = - 1
Conclusion : S = { - 1 }
Méthode 2. Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 2² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = 0
La racine double est: - b / ( 2 a ) = - 2 / 2 = - 1
Conclusion : S = { - 1 }
• Résolution de l'équation - x 2+ 3 x - 2 = 0 dans IR.
Méthode1
La somme des coefficients est nulle: - 1 + 3 - 2 = 0.
Donc 1 est une racine évidente.
L'autre est donc c / a = - 2 / ( -1 ) = 2
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
Méthode 2;
Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 3² - 4 ( - 1 ) ( ( - 2 ) = 9 - 8 = 1
Donc Δ > 0 .
Les racines distinctes sont:
( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 - √1 ) / ( - 2 )= - 4 / ( - 2 ) = 2
( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 +√1 ) / ( - 2 ) = - 2 / ( - 2 ) = 1
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
b. • Pour la fonction f.
Voici sa courbe.
La courbe de f ne rencontre pas l'axe des abscisses.
L'quation f( x ) = 0 n'admet donc pas de solution.
Conclusion : SIR = Ø
• Pour la fonction g : x → 3 x 2+ 6 x + 3 .
On a : g ( x ) = 3 ( x 2+ 2 x + 1 )
g( x ) = 3 ( x + 1 )² = 3 ( x - ( - 1 ) )²
On trace la courbe ( C ' ) de la fonction g .
Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction
x → 3 x 2 par la translation de vecteur: - vect( i )
La courbe ( C ' ) n'admet qu'un seul commun avec l'axe des x .
Son abscisse est - 1.
Conclusion : SIR = { - 1 }
• Pour la fonction h: x → - x 2+ 3 x - 2
On a : h( x ) = - ( x 2 - 3 x + 2 )
c-à-d h( x ) = - ( x 2 - 2 ( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 ) ² - ( 3 / 2 )² + 2 )
c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 9 / 4 + 8 / 4 ]
c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 1 / 4 ]
c-à-d h( x ) = - ( x - ( 3 / 2 ) )² + 1 / 4
On trace la courbe ( C ' ) de la fonction h.
Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction
x → - x 2 par la translation de vecteur: 3/ 2 vect( i ) + 1 / 4 vect( j ).
La courbe ( C ' ) coupe l'axe des abscisses en deux points
d'abscisses 1 et 2 .
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
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♦ EX 5. Résoudre dans l'ensemble des nombres réels les inéquations:
- 3 x 2+ x + 2 < 0 x 2 + x + 1 > 0 x( x - 4) + 4 ≤ 0
(x + 1 ) ( 2 - x) ≥ 0.
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Réponse:
• - 3 x 2+ x + 2 < 0 1 est une racine évidente de - 3 x 2+ x + 2
car - 3 + 2 + 1 = 0
L'autre racine est; c / a = 2 / - 3 = - 2 / 3
On veut que - 3 x 2+ x + 2 soit du signe de a = - 3
Nous devons prendre x à l'extérieur des racines , en les refusant
car l'inégalité est stricte.
Conclusion: SIR = ] - ∞ , - 2 / 3 [ U ] 1 , + ∞ [
• x 2 + x + 1 > 0 Δ = b² - 4 ac Δ =- 3 Δ < 0
x 2 + x + 1 est toujours du signe de a = 1 et jamais nul.
Donc x 2 + x + 1 > 0 pour tout x dans IR.
Conclusion: SIR = IR
• x( x - 4) + 4 ≤ 0
c-à-d x 2 - 4 x+ 4 ≤ 0
c-à-d ( x- 2 )² ≤ 0
c-à-d x- 2 ≤ 0
c-à-d x = 2
Conclusion: SIR = { 2 }
• (x + 1 ) ( 2 - x) ≥ 0.
(x + 1 ) ( 2 - x) est la forme factorisée d'un trinome du second degré
dont les racines visibles sont - 1 et 2.
Nous voulons qu'il soit du signe contraire à a = - 2
Nous devons prendre x entre les racines en les acceptant car
l'inégalité est large.
Conclusion: SIR = [ -1 , 2 ]
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