INFO LISTE 2 EX ( Suite)

 

            INFO   LISTE 2           EXERCICES         ( SUITE )             1S1     Sept. 09      

         

            ♦ EX 4.  a.   Résoudre chacune des équations suivantes  dans  l'ensemble des nombre réels: 

                                    x 2+ x + 1 = 0                   3x 2+ 6x +3 = 0                         - x 2+3 x - 2 = 0

                          b. Représenter soit à l'aide de la calculatrice soit à l'aide GEOGEBRA les courbes des

                             fonctions:             f : x → x 2+ x + 1                          h : x → - x 2+3 x - 2

                                                          g : x → 3x 2+ 6x +3

                              Retrouver les ensembles solutions graphiquement.

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   Réponse:       a.   • Résolution de l'équation x 2+ x + 1 = 0  dans IR.

                                   Δ = b² - 4 a c 

                                  c-à-d      Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3

                                  Donc   Δ < 0

                              Conclusion : S = Ø

                               Résolution de l'équation   3x 2+ 6x +3 = 0   dans IR.     

                                     L'équation s'écrit :      x 2+ 2 x +1 = 0  .

                                    Méthode 1.         On a    ( x + 1 )² = 0  

                                                        c-à-d              x = - 1

                                                     Conclusion : S = { - 1 } 

                                    Méthode 2.          Δ = b² - 4 a c 

                                                     c-à-d      Δ = 2² - 4 ( 1 ) (  1 ) = 0

                                      La racine double est:   - b / ( 2 a ) = - 2 / 2 = - 1

                                                          Conclusion : S = { - 1 }                                                             

                              Résolution de l'équation     - x 2+ 3 x - 2 = 0   dans IR.  

                                            Méthode1

                                                  La somme des coefficients est nulle:  - 1 + 3 - 2 = 0.

                                                  Donc 1 est une racine évidente.

                                                 L'autre est donc c / a = - 2 / (  -1  ) = 2

                                                           Conclusion : S = {  1  ; 2 } 

                                           Méthode 2;

                                                    Δ = b² - 4 a c 

                                      c-à-d      Δ = 3²  - 4 ( - 1 ) ( ( - 2 ) = 9 - 8 = 1

                                       Donc    Δ > 0 .

                                     Les racines distinctes sont:   

                           ( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 - √1  ) / ( - 2 )= - 4 / ( - 2 )  =  2

                          ( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 +√1  ) / ( - 2 ) = - 2 / ( - 2 )  = 1

                                         Conclusion : S = {  1  ; 2 } 

                             b.      • Pour la fonction f.

                                       Voici sa courbe.

                               

                           La courbe de f ne rencontre pas l'axe des abscisses.

                           L'quation f( x ) = 0 n'admet donc pas de solution.

                      Conclusion : SIR = Ø

                                   • Pour la fonction  g : x → 3 x 2+ 6 x + 3 .

                                    On a :     g (  x ) =  3 ( x 2+ 2 x +  1 )

                                                   g( x ) = 3 ( x + 1 )²   = 3 ( x - ( - 1 )  )²

                                     On trace la courbe ( C ' ) de la fonction g .

                                     Elle s'obtient comme image de la courbe  ( C ) de la fonction

                                    x → 3 x 2     par la translation de vecteur:  - vect( i )

                                  La courbe ( C ' )  n'admet qu'un seul commun avec l'axe des x .

                                  Son abscisse  est - 1.

                                            

                                    Conclusion : SIR = { - 1 }

                                 • Pour la fonction h: x → - x 2+ 3 x - 2

                      On a :       h( x ) =  - (  x 2 - 3  x   + 2    )

                       c-à-d                h( x ) = - ( x 2 2 (  3 / 2 ) x + ( 3 / 2 ) ² - ( 3 / 2 )² + 2  )

                       c-à-d                 h( x ) = - [  ( x - ( 3 / 2 ) )² - 9 / 4 + 8 / 4 ]

                      c-à-d                 h( x ) = - [  ( x - ( 3 / 2 ) )² - 1 / 4  ]

                     c-à-d                 h( x ) = - ( x - ( 3 / 2 ) )²   +  1 / 4 

                                     On trace la courbe ( C ' ) de la fonction h.

                                     Elle s'obtient comme image de la courbe  ( C ) de la fonction

                                    x → -  x 2     par la translation de vecteur:   3/ 2  vect( i ) + 1 / 4 vect( j ).

                                     La courbe ( C ' ) coupe l'axe des abscisses en deux points

                                     d'abscisses 1 et 2 .

                                                           

                                          Conclusion : S = {  1  ; 2 } 

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           ♦ EX 5.     Résoudre dans l'ensemble des nombres réels les inéquations:

                           - 3 x 2x + 2 < 0                 x 2 + x + 1 > 0           x( x - 4) + 4 ≤ 0 

                             (x + 1 ) ( 2 - x) ≥ 0. 

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          Réponse:

          •  - 3 x 2x + 2 < 0           1 est une racine évidente de  - 3 x 2x + 2  

                                                     car    - 3 + 2 + 1 = 0

                                                       L'autre racine est;   c / a =  2 / - 3 = - 2 / 3

        On veut que - 3 x 2x + 2 soit du signe de a = - 3

       Nous devons prendre x à l'extérieur des racines , en les refusant

       car l'inégalité est stricte.          

                                             Conclusion:  SIR =  ] - ∞ , - 2 / 3 [ U ] 1 , +    [    

         •   x 2 + x + 1 > 0         Δ = b² - 4 ac           Δ =- 3         Δ < 0

                                           x 2 + x + 1  est toujours du signe de a = 1 et jamais nul.

                                                                 Donc   x 2 + x + 1 > 0 pour tout x dans IR.

                                                Conclusion:  SIR = IR

        •      x( x - 4) + 4 ≤ 0   

                                c-à-d     x 2 - 4 x+ 4 ≤ 0 

                               c-à-d    ( x-  2 )²   ≤ 0 

                               c-à-d       x-  2    ≤ 0 

                               c-à-d        x   =  2 

                                            Conclusion:  SIR = { 2 }  

        •    (x + 1 ) ( 2 - x) ≥ 0. 

                          (x + 1 ) ( 2 - x)   est la forme factorisée d'un trinome du second degré

                          dont les racines  visibles sont - 1 et 2.

                         Nous voulons qu'il soit du signe contraire à   a = - 2

                        Nous devons prendre x entre les racines en les acceptant car                                  

                        l'inégalité est large.

                                       Conclusion:  SIR =   [ -1 , 2 ]  

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