LES R.O.C 2 sur les suites

                   LES DEMONSTRATIONS  pouvant faire l'objet d'un R.O.C.       TS     sept 2012

    ≡ Résultat ≡ 

                Th. Des Gendarmes.

                 Soient trois suites ( un ) , ( vn ) et ( wn ) définies sur

                  entier-sup-a-n0.gif   

                 où n0 est un entier naturel .

                 qui vérifient :     

                    • Il existe un entier q ≥ n0   tel que pour tout entier n ≥ q   

                         un ≤   vn   ≤   wn     

                     •  Il existe un réel  L tel que     lim  un     =    lim wn     = L

                                                                     n → + ∞           n → + ∞    

                                Alors

                         lim  vn  =  L

                          n → + ∞   

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           Démonstration:

           Soit I un intervalle ouvert quelconque qui contient L .

           • Il existe un entier p ≥ n0  tel que pour tout entier n ≥ p on ait un dans I.

           • Il existe un entier p'  ≥ n0  tel que pour tout entier n ≥ p' on ait wn dans I.

          •  Soit  p'' = sup( p , p ' , q )

              Pour tout entier n ≥ p''    on a   un dans I et  wn dans I.

                                                               et      un ≤   vn   ≤   wn   

             Donc   

                   Pour tout entier n ≥ p''    on a    vn  dans I.

           Ainsi:

                  Pour tout intervalle I qui contient L

                  il existe un entier p"  ≥ n0  tel que

                  pour tout entier n  ≥ p''   on aît    vn  dans I.

         c-à-d

                          lim   vn   = L 

                            n → + ∞

           Conclusion : Le résultat est avéré.

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        ≡ Résultat ≡ 

               Soit q dans l'intervalle ] - 1 , 1 [.

               Alors    lim qn    = 0

                            n → + ∞ 

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    Démonstration :  

   Information à connaître:  Tout nombre réel est compris entre sa valeur absolue 

                                         et l'opposé de sa valeur absolue.

                         Ainsi, soit q un réel et n un entier naturel non nul on a :                           

                                      - | qn |   ≤   qn   ≤   | qn  |

                          c-à-d    -  | q |n    ≤   qn   ≤   | q |n  

                         Considérons à présent que:   - 1 < q < 1   

                                                        c-à-d             | q | < 1               

                • q = 0     Alors tous les termes de la suite ( qn ) 

                               définie sur IN* sont nuls.

                               Elle est constante ou stationnaire.

                               Sa limite est bien 0.

                  •q ≠ 0                   

                    On a:      0 < | q |  < 1

                   Donc        1 / | q |  > 1 

                   Ainsi d'après un résultat de cours :

                           lim (  1 / | q | )n   = +∞

                           n → + ∞ 

                       Pour la limite de l'inverse on a:

                                  lim  1 / (  1 / | q | )n    = 0

                                 n → + ∞ 

                  c-à-d  

                                lim   | q | n    = 0       ( 1 )

                                 n → + ∞ 

               Mais           -  | q |n     ≤   qn   ≤   | q |n                 ( 2 )    

            ( 1 ) et (  2 ) avec le th. des gendarmes  entraînent:

                                         lim  qn    = 0 

                                           n → + ∞ 

      Conclusion: Le résultat est avéré

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