INFO 2 DV n°2 1S1 24/ 10/09

    INFO 2   DV n°2  1S1          24/ 10 /09

                 Suite de l'exercice n ° 109    Livre Didier

   ( Consulter l'INFO 1 pour le début de l'exercice )

         5. a. En déduire une construction géométrique d'un point M à la règle et au compas

            et montrer qu'elle est possible pour tout L dans l'intervalle  [ 2 ; 2√2 ].

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    Réponse:    •    On a le point I connu dès que  les points A et B sont placés tels que AB = 4.

                             AIB est un demi carré.

                            Le point M est sur le cercle de centre I et de rayon PQ, c-à-d, de rayon L car

                             IM = PQ = L.

                            Le point M est sur le segment [AB].

                      Conclusion:

                                 • On trace le cercle ( C ) de centre I et de rayon L.

                                 • On considère le ou les intersections du cercle ( C ) 

                                avec le segment [AB ]. 

                                Le ou les points obtenus sont le ou les points M solutions .

                       •   Cette construction est possible quelque soit L dans l'intervalle [ 2 ; 2√2 ].

                         En effet:

                •• Dans le triangle rectangle et isocèle AIB avec AB = 4

                                  on a:           AB  = IA√2 = IB√2

                                          c-à-d           4 = IA√2 = IB√2

                        Donc      IA = IB = 4 / √2 =   2 ( 2 / √2 )  = 2 √2

                    •• Dans le demi carré AIB avec AB = 4 

                  on a la hauteur qui mesure  ( 1 / 2 ) AB = 2.

                  La distance du point I au segment [ AB] est donc 2.

                       Conclusion:   Tout cercle ( C ) de centre I et

                       de rayon L, compris entre 2 et  2√2 , rencontrera  une ou deux fois                    

                        le segment [ AB].  

              ( Pour L= 2    le cercle ( C ) sera tangent à [ AB] en un point

            qui sera alors l'unique point M .)      

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            b. Effectuer cette construction pour L = 2,2 et L = 2 sur deux nouvelles figures.

                  • Figure pour L = 2,2.

                   Il y a deux points M possibles . Sur la figure le point M représenté

                   correspond à AM = x = 1,083.

               ( L'autre point M correspond au second point

                   d'intersection du cercle ( C ) avec le segment [ AB ] .

                Il correspond à   AM = x  = 2,91 )

                                   

                         • Figure pour L = 2 .

                             Il y a un seul point M possible.  Il correspond à AM = x = 2.

                       C'est le point où le cercle ( C ) vient tangenter le segment [AB].

                                       

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