EXERCICE 1S SUITES MAI 2010

                   EXERCICES     SUR   LES   SUITES                 1S1           MAI 2010

      EXERCICE  1   

              Soit la suite ( u ) définie sur IN par     un  =   2n   /   7n + 1      pour tout n dans IN. 

              S'agit- il d'une suite géométrique ?

----------------------------------------------------------------------------------------------------

            Réponse: 

           Première démarche.

            Soit n dans IN.

           On a :   un + 1  =   2n + 1   /   7n + 2   = (  2 × 2n  )   /  (  7 × 7n +1    ) 

            c-à-d    un + 1  =  ( 2 / 7 ) (   2n   /   7n + 1     ) =  ( 2 / 7 )   un 

             c-à-d    un + 1  =  ( 2 / 7 )   un  

         Conclusion:  La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7.

             Seconde démarche.   

               Comme  2n   est non nul , la suite ( u ) est à termes non nuls.

               Soit n dans IN.

               Considérons:

                       un + 1   /    un   =  (    2n + 1   /   7n + 2    ) /  (  2n   /   7n + 1     )

                    c-à-d

                       

un + 1   /    un   =     (    2n + 1   /   7n + 2    ) ×  (    7n + 1   /   2n    )

                    c-à-d

                          un + 1   /    un   =    (    2n + 1 ×   7n + 1   )  /  (   7n + 1 +1    ×   2n    )

                   c-à-d          en simplifiant par  2n     et par   7n + 1 

                       un + 1   /    un   =  2 / 7 

                    Conclusion:  La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7.

                Troisième  démarche.           

                             On a  :      u0  =     20   /   70+ 1     = 1 / 7

                            Soit n dans IN .

                           un    =   2n   /   7n + 1    = (  1 / 7 )  × ( 2n   /   7n   )

                c-à-d    

                                 un    =   (  1 / 7 )  × ( 2 /   7  )n  

                       c-à-d       en posant  q = 2 / 7

                               un    =       u0    × qn       pour tout n dans IN.

                  Conclusion:  La suite ( u ) est bien une suite géométrique de raison q = 2 / 7.