Utilisation des congruences. TS spé maths janvier 2015
EXERCICE 2:
Etablir le critère de la divisibilité par 3 pour un entier naturel non nul, dans le système décimal,
dans le cas où il a trois chiffres.
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REPONSE:
Soit N = abc10 où a,b et c sont dans l'ensemble { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } et a ≠ 0.
On a : N = a x 102 + b x 101 + c x 100
Nous allons écrire les congruencs modulo 3 pour les puissances de 10 qui sont 102 ,101 , 100 .
100 ≡ 1 [ 3 ] car 100 = 1 + 0 x 10
10 ≡ 1 [ 3 ] car 10 = 3 x 3 + 1
102 ≡ 1 [ 3 ] car 102 ≡ 12 [ 3 ]
Ainsi en multipliant les deux membres par respectivement c , b , a, il vient:
c x 100 ≡ c x 1 [ 3 ]
b x 10 ≡ b x 1 [ 3 ]
a x 102 ≡ a x 1 [ 3 ]
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Sommons : a x 102 + b x 101 + c x 100 ≡ a + b + c [ 3 ]
c-à-d N ≡ a + b + c [ 3 ]
On peut dire que N est divisible par 3 c-à-d est un multiple de 3
si et seulement si a + b + c l'est.
On retrouve le critère:
Dans le système décimal, N est divisible par 3 ssi la somme de ses chifres l'est .
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