INFO Problème TES OCT 2013

            INFO  PROBLEME   TES SPE          MATHS                  TES     2013

           Trois camarades ALEX , BRICE et ALICE veulent fêter les anniversaires de trois  

           copains FABIEN, CONSTENTIN et MALIKA trois week-ends de suite.

           Ils doivent acheter, pour cela, des sodas , des boîtes de biscuits, des serviettes en

           papier et des sachets de pailles.

           Ils considèrent que pour chaque anniversaire il faut 25 sodas , 17 boîtes de biscuit ,

           13 sachets de serviettes en papier, 7 sachets de pailles. 

  #  Pour l'anniversaire d' ALEX, ils ont convenu de faire un achat groupé dans le même

               magasin afin de bénéficier des points de fidélité.

               Ils y a deux magasins, dans les parages, qu'il connaissent : INTERSECTION  et AUPRE.

               Ils vont simuler sur internet les deux possibilités et commander chez celui qui offre le 

               moindre coût pour l'anniversaire de FABIEN.

   # Le week-end suivant, pour l'anniversaire de CONSTENTIN, ils adoptent une autre démarche.

               Chacun décide d'acheter, de son côté une partie des produits nécessaires

               mais chacun le fait dans un seul des magasins.

               Chacun simule le coût, pour lui-même, et achète dans le magasin qui propose 

               le moindre coût.

   #  Le troisième week-end, pour l'anniversaire de Malika, devant la hausse des prix

              des certains produits ils décident de prospecter aussi dans un troisième

              magasin à proximité LEPASCLAIR.

              Il leur reste beaucoup de pailles, aussi ils renoncent à en racheter.

              Comme pour le second week-end chacun fait une partie des courses au moindre 

              coût dans un seul des trois magasins.

              Mais ils ne connaîssent pas les tarifs de LEPASCLAIR.

              Une publicité leur a dit que c'était en principe moins cher chez LEPASCLAIR

              qui " écrase les prix".

              Ils se laissent convaincre et ils décident tous, d'acheter les " yeux fermés"

             chez LEPASCLAIR sans comparer les prix.

             ALEX a finalement dépensé 30 € , BRICE a dépensé 17 € et ALICE a dépensé 23 €.

             Ils vont devoir, après coup, trouver les prix de chez LEPASCLAIR et réfléchir

             sur l'intérêts du choix fait à l'aveugle.

  I Partie:          Anniversaire de Fabien.

         Les tarifs des deux magasins sont dans le tableau suivant:

   INTERSECTION     AUPRE 
Soda        3    €    1,90 € 
Boîte de biscuits        2,5 €    3       €
Sachet de serviettes         1,5 €    2       €
Sachet de pailles        2    €    1, 90 €

           1. Donner la matrice P d'ordre ( 4 ; 2 ) des prix des deux magasins suivant le produit.

                  P est la matrice suivante

 /  3      1,90 \
| 2,5          3       |
| 1,5      2       |
 \ 2      1,90 /

           2. Donner la matrice Q1 d'ordre( 1 ; 4 ) des quantités.  

                     La matrice Q1  est la suivante:

                        Q1 = ( 25    17   13   7   ) 

               3. Calculer la matrice D1  telle que  D1 = Q1 × P

                           La matrice D1 est la suivante:           

                             D1 =  (   151     137,80   )   

                          Elle est d'ordre ( 1 ; 2 )

           4. Que représente  Ddans le terme de rang ( 1 ; 1 ) ?

                 151 €    c'est le coût des achats si ils se font chez INTERSECTION.

               Que représente  Ddans le terme de rang ( 1 ; 2 ) ?

               137,80 €    c'est le coût des achats si ils se font chez AUPRE.

           5. Que vont-ils faire comme choix de magasin ?

                  Il vont choisir AUPRE car le coût est le moins élévé.

               Quel sera le coût de l'anniversaire de FABIEN ?

                   Le coût sera ainsi de 137,80 €

  II. Partie II     Anniversaire de CONSTENTIN

                 Les prix sont inchangés.

                 Les quantités n'ont pas changé.

                 Mais ils se sont mis d'accord sur ce que chacun amène.

                 Voici le tableau de la répartition.      

  Soda   Boîte de biscuits  Sachets de serviettes en papier  Sachet de pailles
ALEX   5              6                      5           3
BRICE 10              7                      3           3
ALICE  10              4                      5           1

                  1. Donner la matrice Q2 d'ordre ( 3 ; 4 ) des quantités de produit suivant 

                     les organisateurs.

                      La matrice Q2 est la suivante:

 /    5   6   5  3  \
|    10   7   3  3   |
 \  10   4   5  1  /
           

                 2. Calculer D2 telle que D2 =  Q2   × P .

                      La matrice D2 est la suivante :

 /  43,5    43,20    \ 
| 58  51,70    |
 \ 49,5  42,90   /

                 3. Que donnent les termes de la prémière ligne de la matrice  D2   ?

                         ALEX dépense 43,5 € chez INTERSECTION ou  43,20 € chez AUPRE

                    Que donnent les termes de la deuxième ligne de la matrice  D2   ?

                       BRICE    dépense 58 € chez INTERSECTION ou  51,700 € chez AUPRE

                   Que donnent les termes de la troisième ligne de la matrice  D2   ?

                      ALICE  dépense 49,5 € chez INTERSECTION ou  42,90 € chez AUPRE

                4. Où ALEX va-t-il acheter sa part de produits ? Pour quel coût ?

                       ALEX a intérêt à les acheter chez AUPRE pour un coût de 43,20 €

                   Où BRICE va-t-il acheter sa part de produits ? Pour quel coût ?

                     BRICE  a intérêt à les acheter chez AUPRE pour un coût de 51,70 €

                   Où ALICE va-t-il acheter sa part de produits ? Pour quel coût ?

                     ALICE a intérêt à les acheter chez AUPRE pour un coût de 42,90  €

               5.  Combien coûtera l'anniversaire de CORENTIN ?

                                   43,20  + 51,70 + 42,90 = 137,80

                      L'anniversaire coûtera 137,80 € 

   III.              Anniversaire de MALIKA 

                      Les tarifs des trois magasins pour les trois articles achetés

                      sont dans le tableau suivant:

   INTERSECTION  AUPRE   LEPASCLAIR 
Soda        5     €   1,90 €        x  €
Boîte de biscuits        3,5  €   3 €       y   €
Sachet de serviettes en papier        4     €   2  €       z   €
       

                Voici le tableau de la répartition.      

  Soda   Boîte de biscuits  Sachets de serviettes en papier  
ALEX   5              6                      5  
BRICE 10              7                      3  
ALICE  10              4                      5

                      On pose :

                       matcol.png

   La matrice P ' ' d'ordre ( 3 ; 1 ) est celle des prix du magasin LEPASCLAIR.

   La matrice  colonne D ' est celle des dépenses dans le magasin LEPASCLAIR.

    1. Donner la matrice Q3 d'ordre 3 des quantités des trois  produits achetés

        suivant les  organisateurs.

            La matrice Q3 est la suivante:

 /     5    6    5 
|  10  7  3  |
 \  10  4  5 /

     2. Donner la matrice P ' d'ordre ( 3 ; 3 ) des prix des trois magasins suivant

          les trois produits achetés. 

            La matrice P ' est la suivante:

 /     5   1,9     x   \
|    3,5  3   y   |
 \    4  2   z  /     

     3. Que représente la troisième colonne de la matrice  Q3 × P ' ?

              (  Sans utiliser la calculatrice )

                   La matrice  Q3 × P '   est une matrice d'ordre 3 

                Sa troisième colonne est  :        5 x + 6 y + 5 z      

                                                                        10 x + 7 y + 3 z

                                                                         10 x + 4 y + 5 z 

                   Cette dernière colonne est:               le coût  d'ALEX

                                                                                     le coût de BRICE

                                                                                     le coût d'ALICE

                        quand ils achètent chez LEPASCLAIR.

          Comparer cette colonne avec la matrice D '.

               Cette colonne est égale à la colonne des termes de  D ".

                  On a:                     

   / 32   \    /    5 x + 6 y + 5 z   \    
D' =  | 40   |  =  |  10 x + 7 y + 3 z   |    
   \ 38  /    \  10 x + 4 y + 5 z   /    

   5. En déduire un système Q3 × P ' ' = D '.   

         Comme    

      /   5  5   \     /  x  \      /    5 x + 6 y + 5 z   \
Q3 × P ' ' =    | 10  7  3    |   ×  |   y   |  |   10 x + 7 y + 3 z    |
     \ 10   4   /    \  z  /      \  10 x + 4 y + 5 z   /

          On a le système :

   5 x  +  6 y  + 5 z  =   32  
10 x + 7 y + 3 z =  40
10 x + 4 y + 5 z =  38

         Puis trouver P ' '  à l'aide de Q- 1 × D '  et de la calculatrice.

               P ' ' est la matrice colonne des inconnues x  , y , z.

             La calculatrice en considérant que P ' ' = Q3 × D ' donne:             

 /  2  \
|  2   |
 \  2  /

        Finalement donner les prix  x , y  et z du magasin LEPASCLAIR.

                      Donc :     x = 2   

                                       y = 2

                                       z = 2

           Chez LEPASCLAIR  tout est à 2 € 

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