INFO TEST POISSON-BINOM BTS

    Nom:                      Prénom:                 n°                    Classe: BTS1                            Date:

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         Les I , II , III sont indépendants.

     I • Une urne contient     4 boules rouges   et  6 boules noires.     

              • •  On tire simultanément deux boules de l'urne.

                    On note A l'événement " Avoir des boules de la même couleur"

                    Trouver P( A ).

. On est dans une situation d'équiprobabilité.   Soit Ω  l'univers des possibles. Ω  est l'ensemble de

toutes les parties de deux boules de l'urne.

 P( A ) = Card ( A ) / Card( Ω )

 Card(  Ω  ) = C₁₀ ²     = 45

 Card( A ) = C₆ ²     +  C₄ ²   = 15  + 6 = 21

. Donc P( A ) = 21 / 45

.  Conclusion : P( A ) = 7 / 15  

               • • On répète 15 fois le tirage simultanément de deux boules de l'urne.

                    Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de fois que les deux boules

                    sont de la même couleur.

            • • • Donner la loi de probabilité de X.

.  On répète 15 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli "le tirage simultanémént de deux

    boules de l'urne" dont les deux issues sont " De même couleur" , " Pas de même couleur" avec  p = 7 / 15

   la probabilité de " même couleur. X indique le nombre de  "même couleur". Ainsi:

. Conclusion :  X suit une loi binomiale de type B( 15 ; 7 / 15 )

            • • • Quelle est la probabilité que l'on ait  trois fois les deux boules de la même couleur?

.Donner P( X = 3 )

.P( X = 3 ) = C₁₅ ³   ( 7 / 15 )³  ( 8 / 15 )¹²

.Conclusion : P( X = 3 ) ≈ 0,0244

            • • • Quelle est la probabilité que l'on ait au moins une fois les deux boules

                   de la même couleur?

.Donnons P( X ≥ 1 ).

. P( X ≥ 1 ) = 1 - P( X = 0 ) =   1 - C₁₅ ⁰    ( 7 / 15 )⁰  × ( 8 / 15 )¹⁵   = 1 - ( 8 / 15 )¹⁵  

Conclusion : P( X = 3 )    ≈  0,9999

                   • • On veut prolonger X par une variable aléatoire Y de loi de poisson

                        de paramètre λ > 0 .

                 • • • Sachant que l'on prend systématiquement pour λ  l'espérance de X ,

                         donner λ .

.On prend  λ = E( X )    c-à-d     λ = 15  × 7 / 15 = 7

. Conclusion :  λ   ≈  7  

                 • • • Trouver P( Y = 3 ).

.D'après la table :  P( Y = 3 ) ≈  0,052

.  Conclusion : P( Y = 3 )  ≈ 0,052 

               • • • Trouver P( 2 < Y ≤ 5 ). 

 On a : P( 2 < Y ≤ 5 ) = P( X =3 ) + P ( X = 4 ) + P( X = 5 )

    D'après la table   P( 2 < Y ≤ 5 ) ≈ 0,052+ 0,091 + 0,128

Conclusion :    P( 2 < Y ≤ 5 ) ≈  0,2710                       

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        II  • La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  λ > 0.

            • •  Trouver λ sachant que P( X = 0 ) = 0,135.

. On a :    P (  X = 0 ) = e^{- λ}     (   λ⁰   / 0! )

 c-à-d      P (  X = 0 ) = e^{- λ} 

.Or     P (  X = 0 )  = 0,135

          Donc   0,135 = e^{- λ}    

            c-à-d      ln( 0,135 ) =  -   λ 

   Donc   λ = - ln( 0,135 )           c-à-d         λ ≈ 2,002

    Conclusion :  λ  ≈   2 

              • •  Calculer P( X  ≥ 2 ).

.On a :  P( X  ≥ 2 ) = 1 - P( X < 2 ) = 1 - P( X = 0 ) - P ( X = 1 ) 

.Donc   d'après la table de Poisson    P( X  ≥ 2 ) ≈ 1 - 0,135 - 0,271

 Conclusion :  P( X  ≥ 2 ) ≈   0,594              

              • •  Donner l'espérance E ( X ).    

. On a E( X ) =   λ      Donc     E( X ) = 2

.Conclusion :E( X ) = 2 

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      III •  Dans une urne il y a 5 cartons rouges , 2 cartons blanxs  et 3 cartons verts.

           Un joueur tire au hasard trois cartons simultanément de l'urne.

           Si les 3 cartons sont rouges  il gagne 5 euros , s'il obtient 3 cartons verts il gagne 3 euros,

           dans les autres cas il n'obtient rien. Pour jouer le joueur doit payer 4 euros.

           Soit X le gain algébrique du joueur. 

           * Donner la loi de X.  

.Les valeurs prises par X sont : 

   0 - 4 = - 4     euros            Autre cas

   3- 4 =  - 1    euros         pour 3 cartons verts

   5 - 4 =  1     euros          pour 3 cartons rouges

           La loi de X est le tableau ci-dessous       

  Card( Ω)  = C₁₀ ³  = 120

   Card(X = 1 ) = C₅ ³  = 10

   Card( X = - 1 ) = C₃ ³  = 1

On est dans une situation d'équiprobabilité.

 P( X = 1 ) = Card(X = 1 )  / Card( Ω)  = 10 / 120

P( X = - 1 ) = Card(X = - 1 )  / Card( Ω)  = 1 / 120

P( X = - 4 ) = 1 - P( X = 1 ) - P( X = - 1 ) = 1 - 10 / 120 - 1 / 120

Donc  P( X = - 4 ) = 109 / 120

          *  Donner L'espérance E( x ).

.On a :  E( X ) = - 4  ×( 109 / 120 )- 1 ×( 1 / 120  ) + 1 ×(  10 / 120 )

.            E( X ) = - 427 / 120

 Conclusion :  E( X )  ≈ - 3,558    euros

           * Trouver P( X > 0 ) .

. P( X > 0 ) = 1 - P ( X = 0 )

c-à-d     P( X > 0 ) = 1 - P( X ≤ 0 ) = 1 - P( X = - 4 ) - P ( X = -1 )

c-à-d     P( X > 0 ) = P( X = 1 ) = 10 / 120

  Conclusion :   P( X > 0 ) =   1 / 12    

          • •   Soit n un entier naturel tel que n > 1 . 

                Le joueur joue  n fois de façon indépendante. Soit Y la variable aléatoire qui indique

                le nombre de fois que le gain est strictement positif.

                   Trouver P( Y  ≥  1 ) en fonction de n.

. On repète n fois une épreuve de Bernoulli dont les issues sont " gain strictement positif" ,

   " gain non strictement positif" avec p =1 / 12  la probabilité de " gain strictement positif".

  La variable aléatoire Y  indique   le nombre de "gain  strictement positif."

 Donc Y suit la loi binomiale de type B ( n ; 1 / 12 )

. P( Y  ≥  1 ) = 1 - P( Y = 0 ) = 1 - C_n ⁰   ×  ( 1 / 12 )⁰   × ( 11/ 12 )ⁿ  

Donc    P( Y  ≥  1 ) =  1 -   ( 11/ 12 )ⁿ  

Conclusion :   P( Y  ≥  1 ) = 1 - ( 11 / 12 )ⁿ 

                  Quel est le plus petit entier n tel que P( Y ≥  1 )   ≥ 0,99 .   

Imposons:                 1 - ( 11 / 12 )ⁿ  ≥ 0,99

c-à-d                         1 - 0,99 ≥ ( 11 / 12 )ⁿ

  c-à-d                     ln ( 0,01 )   ≥ n  ×  ln ( 11 / 12 )      ln étant croissante sur ] 0 , + ∞[

c-à-d                 ln ( 0,01 )   /  ln ( 11 / 12 )   ≤  n          car       ln ( 11 / 12 )  < 0

Or                 ln ( 0,01 )   /  ln ( 11 / 12 ) ≈   52,926

 Le plus petit entier n est donc  n = 53

Conclusion :  n = 53

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