INFO DV n° 5 TS spé 24 janv 2017

                       INFO  DV n ° 5   du 24 janvier 2017   TS spé maths.

   EXERCICE 1 .

           Etablir que  32n   − 2n   est divisible par 7 pour tout n dans IN.

      REPONSE:  

                Soit n dans IN quelconque.

     On a :         32n   − 2n  = (  32 )n   − 2n  = 9  − 2n      

     On a  aussi:              9 = 2 + 7

                 Donc :            9   2  [ 7 ]

                  Puis   :         9n   2n  [ 7 ]

                Ainsi :           9  − 2n      ≡  0  [ 7 ]

               c-à-d                  32n   − 2n    ≡  0  [ 7 ]

            Conclusion:      32n   − 2n   est divisible par 7 pour tout n dans IN.

            EXERCICE 2:

                Montrer que pour tout entier naturel n non divisible par 3

                  22n + 2n + 1 est divisible par 7

              REPONSE:

             Les restes possibles dans la division par 3 sont 0 ; 1 ; 2         

            Puisque n ne doit pas être divisible par 3 il y a plus que deux cas à considérer:

             • cas:    Il existe k dans IN tel que  n = 1 + 3 k     ( Le reste est 1 )

                         2n  = 21 + 3 k​   = 2  × 23 k​  =  2  ×( 23 )k​   =  2  × 8k     

                    Mais         8  ≡ 1 [ 7 ]     car   8 = 1 + 7

                    Donc       8k  ≡ 1k [ 7 ]

                    c-à-d       8k  ≡ 1 [ 7 ]

                 Donc            2  × 8k   ≡  [ 7 ]

               c-à-d                             2n ≡ 2 [ 7 ]

                Puis     ( 2)2 ≡ 22 [ 7 ]                          

                c-d                            22n  ≡ 4  [ 7 ]

                De plus                         1  ≡ 1 [ 7 ]

        Par sommation on a:     22n + 2n + 1    ≡ 4 + 2 + 1   [ 7 ]

            c-à-d                 22n + 2n + 1    ≡ 0  [ 7 ]

            On a  bien dans ce cas  7 qui divise   22n + 2n + 1   

           • cas:    Il existe k dans IN tel que  n = 2 + 3 k    ( Le reste est 2 )

                       2n  = 22 + 3 k​   = 22  × 23 k​  =  4  ×( 23 )k​   =  4  × 8k                   

          Mais on a vu que        8k  ≡ 1 [ 7 ]

                 Donc            4  × 8k   ≡ [ 7 ]

               c-à-d                                    2n   ≡ 4  [ 7 ]

              Puis                (  2n  )2   ≡ 42  [ 7 ]

                c-à-d                22n   ≡ 16 [ 7 ]

               c-à-d                                     22n   ≡ 2 [ 7 ]

              De plus                                  1  ≡ 1 [ 7 ]

         Par sommation on a:        22n + 2n + 1    ≡  2 + 4 + 1  [ 7 ]

            c-à-d                 22n + 2n + 1    ≡ 0  [ 7 ]

            On a  bien dans ce cas aussi  7 qui divise   22n + 2n + 1      

            Conclusion: Le résultat est prouvé.

          EXERCICE 3

           Soit    A = n ( n + 1 ) / 2    où n est un entier naturel quelconque.

             Donner le reste de la division de A par 3 .

        REPONSE:

          On veut l'entier r tel que:     n (  n + 1 ) / 2  ≡ r  [ 3 ]  avec   0 ≤ r < 3

             c-à-d   en multipliant tout par 2 , y compris le modulo :

                      n ( n + 1 ) ≡ 2 r  [ 6 ]     avec   0 ≤ r < 3  

           (  C'est équivalent car le modulo a été multiplié par 2 aussi )

            On va discuter suivant le reste de la division de n par 6.

            Les restes possibles dans la division par 6 sont :

             0 ; 1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5

         Faisons un tableau :

n ≡0 [6]  n ≡1 [6] n ≡2 [6] n ≡3 [6] n ≡4 [6] n ≡5 [6]
n+1 ≡ 1 [6] n+1 ≡ 2 [6] n+1 ≡ 3 [6] n+1 ≡4 [6] n+1 ≡ 5 [6] n+1 ≡ 0 [6]
n(n+1)≡0[6] n(n+1)≡2[6] n(n+1)≡0[6] n(n+1)≡0[6] n(n+1)≡2[6] n(n+1)≡0[6]
n(n+1)/2≡0[3] n(n+1)/2≡1[3] n(n+1)/2≡0[3] n(n+1)/2≡0[3] n(n+1)/2≡1[3] n(n+1)/2≡0[3]

            0 ≤ 0 < 3     et      0 ≤  1 < 3     

        Conclusion:

          •Quand le reste de la division de n par 6 est 1 ou 4 alors la reste de la division de A par 3 est 1.

          •Dans les autres cas Le reste de la division de A par 3 est nul.

     EXERCICE 4 

                  Soit   B  = 32 48

             Donner les reste de la division de B  par 7

                REPONSE:

         • On a :        32 = 4 + 4 × 7   

           Ainsi :          32 ≡  4  [ 7 ]

           Donc  :                            3248 ≡  448   [ 7 ]

          On cherche donc le reste de la division de 448    par 7

       •  Cherchons le plus petit entier naturel non nul k tel que

                          4k  ≡  1  [ 7 ]

            On fait des essais:

             ♦ k = 2              42 = 16    Donc     42   ≡  2  [ 7 ]   ça ne convient pas

            ♦  k = 3            42   × 4  ≡ 2 × 4  [ 7]   en multipliant par 4

                       c-à-d       43    ≡ 8  [ 7]

                       c-à-d       43    ≡ 1  [ 7]             k = 3    convient

           On va considérer  la division de 48 par 3.

                           48 = 3 × 16 +  0

           On a donc  :     ( 43  )16  ≡ 116  [ 7 ]      

              c-à-d                   416  ≡ 1 [ 7 ]    

             c-à-d                                448  ≡ 1 [ 7] 

             Ainsi  les deux congruences       3248 ≡  448   [ 7 ]    et     448  ≡ 1 [ 7]    

              montrent que:     3248    ≡ 1 [ 7 ]    avec    0 ≤  1 < 7

              Conclusion :  Le reste de la division de  B par 7 est 1

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   Partie facultative.

                   Soit A = 1x5y4    un entier naturel écrit en base 6.

                         x et y sont dans l'ensemble { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 }.

                On rappelle que :   A = 1 ×  6 + x ×  6+ 5  ×  6+ y ×  6 + 4      

            1. Trouver les couples ( x , y ) tels que A soit divisible par 35.

               REPONSE:

                     On a :  A = 1 ×  6 + x ×  6+ 5  ×  6+ y ×  6 + 4    

                c-à-d     A = 1480 + 216 x + 6 y

              c-à-d     A = 2 ( 740 + 108 x + 3 y )       (  A est donc  pair )

                 2 et 35 sont premiers entre eux .

               Le  problème  est de trouver x et  y  dans  { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 }

               tels que   35 | ( 740 +  108 x + 3 y )

                 On a :   740= 35 × 21 + 5

                              108 = 35 ×3 + 3

                Ainsi:   A= 2 ( 5 + 35 × 21 + 35 × 3 x  +  3  x +  3 y  )

                c-à-d    A= 2(  35 ( 21 + 3 x ) + 3 ( x + y ) + 5 )

                 Donc   A est divisible par 35  si et seulement si   3( x + y ) + 5   est divisible par 35

                   Mais  35 = 5 × 7    et  5 et 7 sont premiers entre eux.

             D'où :  A est divisible par 35  si et seulement si

                          5 |  3 ( x + y ) + 5      et     7 | 3 ( x + y ) + 5

           c-à-d       5 |  3 ( x + y )      et     7 | 3 ( x + y ) + 5         comme  5 | 5

          c-à-d        5 |   x + y       et     7 | 3 ( x + y ) + 5           sachant que 5 et 3 sont premier entre eux

             Cherchons déjà les couples ( x , y ) avec x et y dans   { 0 ; 1;2 ; 3 ; 4 ; 5 } tels que 5 divise  x + y.

            Faisons un tableau :

+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7 8
4 4 5 6 7 8 9
5 5 6 7 8 9 10

                    Déjà les seuls couples acceptables pour la première condition sont:

                        ( 0 ; 5 ) , ( 5 ; 5 ) , ( 4 ; 1 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 3 ; 2 )  ,(  2 ; 3 ) , ( 5 ; 5 )

              • Pour chacun  des couples    ( 0 ; 5 ) , ( 4 ; 1 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 3 ; 2 )  ,(  2 ; 3 )

                    3 (  x + y ) + 5 =  3 × 5 + 5  = 20   non divisible par 7

                  Ces couples sont refusés.

             • Pour   le couple ( 5 ; 5 )  : 

                        3(  x + y ) + 5 =  3 × 10 + 5  = 35    qui est bien divisible par 7

                   Le couple ( 5 ; 5 ) est accepté.

                 Conclusion: Une seule possibilité   ( x , y ) = ( 5 , 5 ) 

                                     A = 15554   dans le système de base 6 pour être divisible par 35

                                      Alors A = 2590 dans le système décimal

          2. Trouver les couples ( x , y ) tels que A soit divisible par 70.  

               REPONSE:

                     70 = 2 × 35

                    Comme 2 et 7 sont premiers entre eux A est divisible par 70 ssi    35 |  A    et  2 | A

                  Or on a vu que  A est divisible par 2 car c'est un multiple de 2.

                  Pour être divisible par 35 on est obligé de prendre x = y = 5  comme vu dans la question n°1

              Conclusion:    Seulement pour ( x , y ) = ( 5 , 5 )    A est divisible par 70

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