INFO TEST 1 Nb COMPLEXES

INFO TEST 1 Nb COMPLEXES

                          INFO TEST 1       NOMBRES COMPLEXES                TS            22/ 09 /2010

 NOM :   ..............    PRENOM :   ....                DATE:  22 SEPT. 2010        CLASSE: TS 2

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 •Trouver les modules des nombres complexes  3 + 2 i    ;      2 / ( 1 - i )

     ••  | 3 + 2 i | = √ ( 3² + 2² ) =  √13    

         Ainsi      | 3 + 2 i | =  √13    

         ••     |    2 / ( 1 - i )  |  =  | 2 | / |  1 - i  | =  2 / √ ( 1² + ( - 1 )²  ) = 2 / √ 2

             Ainsi      |    2 / ( 1 - i )  |  = √ 2   

•Résoudre l'équation   z² + √5 z +13,5 = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

             On a :         Δ = b² - 4 ac

            c-à-d            Δ =( √5 )²   - 4 × 13,5 = 5 - 54

            c-à-d            Δ = - 49 = 7²  × i² = ( 7 i )²

             Les solutions sont:

               ( - b - i √ |  Δ | ) / 2 a  = ( - √5 - 7 i ) / 2

               ( - b + i √ |  Δ | ) / 2 a  = ( - √5 + 7 i ) / 2

             L'ensemble solution est :  { ( - √5 - 7 i ) / 2  ;   ( - √5 + 7 i ) / 2  }

•Mettre sous la forme algébrique  le nombre complexe ( 1 - 2 i ) / ( 1 + i ).

    On a :       ( 1 - 2 i ) / ( 1 + i ) = [ ( 1 - 2 i )(  1 - i ) ) ]  / [( 1 + i ) ( 1 - i )]

   c-à-d             ( 1 - 2 i ) / ( 1 + i ) = [  1 - i - 2 i + 2 i² ] / | 1 + i |²

   c-à-d              ( 1 - 2 i ) / ( 1 + i ) =  ( - 1 - 3 i ) /  ( 1² + 1² ) =( - 1 / 2 )- (3 / 2) i

           Ainsi :           ( 1 - 2 i ) / ( 1 + i ) =  ( - 1 / 2 ) -  ( 3 / 2 ) i

•Soit z = x + i y.  On pose :  Z = 2 z / ( z + 1)

     •• Quelle condition doit-on imposer au couple (x , y )?

         La conditionsur z  est :   z ≠ - 1

                        c-à-d          x + i y  ≠ - 1 + 0 i

                        c-à-d            ( x , y )   ≠  ( -  1 ; 0 )

          La condition   imposée au couple (x , y ) est :      ( x , y )   ≠  ( -  1 ; 0 )

   ••  Mettre Z sous la forme algébrique.

         Soit   z ≠ - 1       c-à-d    ( x , y )   ≠  ( -  1 ; 0 )

        On a :

                          

          c-à-d comme z = x + i y

                     

         La forme algébrique de Z est :

       Z = [ 2 ( x² + y ² + x ) / [ ( x + 1 )² + y² ]   + i  ( 2 y ) /  [ ( x + 1 )² + y² ]  

 ••Quel est l'ensemble des points M( z ) du plan tels que Z soit un réel?

                   Z est un réel ssi   Im( Z ) = 0

                 c-à-d           2 y = 0 et   ( x , y )   ≠  ( -  1 ; 0 )

                 c-à-d              y = 0    et    x   ≠  -  1

                   Ainsi l'ensemble des points M( z ) tels que Z soit un réel est l'axe

                  des abscisses privé du point A ( - 1 ).            

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