Suite 4du cours:Nb Complexes

Suite 4du cours:Nb Complexes

                 SUITE 4 DU COURS SUR LES NOMBRES COMPLEXES         15 septembre 2010         TS

    •  RAPPEL: Expression analytique du quart de tour direct de centre l'origine.

                        

              Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O , vect ( u ), vect(  v ).

                     Soit le point M ( x , y ) distinct du point O.

                    Soit [ r , θ ] des coordonnées polaires de M .

                       On a:            x = r cos  θ 

                                           y = r sin θ 

                    Soit M ' le point du plan tel que :

                      OM = O M '  et      ( vect( OM ) , vect( OM ' ) =   π / 2   ( 2 π )

                       c-à-d 

                     M '  est  l'image du point M par la rotation de centre O et d'angle  π / 2  .

                 Des coordonnées polaires de  M ' sont:    [ r ,  θ + π / 2 ].

                 Donc les coordonnées cartésiennes de M ' sont:

                    x ' = r cos (  θ + π / 2 )

                    y ' =   r sin(  θ + π / 2)    

          c-à-d           x ' = r  ( - sin  θ ) = -  r sin  θ            car       cos (  θ + π / 2 ) = - sin  θ

                            y ' = r cos θ                                    car       sin(  θ + π / 2)    = cos θ

                  d'où      x ' = - y

                               y ' =  x 

                   C'est l'expression analytique de la rotation de centre O et d'angle  π / 2 .

  •   INTERPRETATION DES REGLES DE CALCUL DANS  L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES.

                       Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O , vect ( u ), vect(  v ).

                       Soit k dans IR*  et z et z ' deux nombres complexes de formes algébrique: 

                            z = x + i y     et      z ' = x ' + i y ' .

                       Soit les points images M( z ) et M' ( z' ).

         1.   La multiplication par un réel non nul k  induit l' homothétie

                 de centre O et de rapport k .

                   En effet:

                     L'égalité vectorielle   

                                       

                    se traduit par :     x' = k x

                                                y ' = k y

                    c'est-à-dire  par : 

                                           z ' = k z

                     C'est la traduction complexe de l'homothétie de centre O et de rapport k. 

                2.   La multiplication d'un nombre complexe par i induit la rotation de centre O et

                      d'angle π / 2 . ( c'est- à- dire le quart de tour direct de centre O )

                         En effet:

                            z ' = i z

                       s'écrit                      x ' + i y ' = i ( x  + i  y )

                       c'est-à-dire             x ' + i y ' = i x - y  

                       c'est-à-dire               x ' = - x

                                                          y'  =  y                  

                       Ce qui est la traduction analytique de la rotation de centre O et d'angle π / 2.

       Ainsi    z ' = i z    est la traduction complexe  de la rotation de centre O et d'angle π / 2.

             

     • Exemple d'utilisation.

                 Les vecteurs  vect( w )  d'affixe    zvect( w ' )   = 2 - 3 i    et  vect ( w'  ) d'affixe

                   zvect( w )     = 3 + 2 i

                 sont-ils orthogonaux ?

                   Oui.

                  En effet: 

                                  ( 3 + 2 i ) =   i   ( 2 - 3 i )

                  c-à-d                 zvect( w )    =   i    zvect( w ' )

             (  On pouvait aussi voir ici que :      zvect( w  )   /     zvect( w ' )  =  i    )

-----------------------------------------------------------------------------------------------