TEST EX2 spé TS 31 janv.2017

                     TEST    Spé math.   TS    31 janvier 2017

    EXERCICE 2             
           Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
    Partie A
            On considère les matrices M de la forme

               Po1 
           où a et b sont des nombres  entiers.
           Le nombre 3 a − 5 b  est appelé le déterminant de M.

             On le note det(M).
             Ainsi:    det(M) = 3 a − 5 b.

    1. Dans cette question on suppose que det(M) 6 = 0

        et on pose: 

             Po2

        Justifier que N est l’inverse de M.
     2. On considère l’équation (E) : det(M) = 3.
         On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).
          a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

          b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement
                       si  3(a − 6) = 5(b − 3).         

       Partie B
          1. On pose:

              Po4 
              En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.         

         2. Codage avec la matrice Q
            Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q

            on utilise la procédure ci-après :
               • Étape 1 : On associe au mot la matrice

                    Po7
             où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier

              correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

    
                •Étape 2 :    La matrice X est transformée en la matrice

                                      Po8
                                    telle que   Y = QX.
                • Étape 3 :    La matrice Y est transformée en la matrice

                                       Po10
                 telle que r1 est  le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division
                 euclidienne de y2 par 26.
                •  Étape 4 :

                 À la matrice R 
                 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
                 Exemple : 

                      Po11

                      Le mot JE est codé en le mot OF.
                   Coder le mot DO.
             3. Procédure de décodage.
                 On conserve les mêmes notations que pour le codage.

                 Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que
                  Y = QX.

            a. Démontrer que 3X = 3Q− 1 Y  puis que
                 3 x1 ≡ 3 r1 − 3 r2   [26]
                3 x2 ≡ − 5 r1 + 6 r2   [26]
             
            b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que 

                   x1 ≡ r1 −  r2   [26]
                  x2 ≡ 7 r1 + 2 r2   [26]
           

            c. Décoder le mot SG. 

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