TEST Spé math. TS 31 janvier 2017
EXERCICE 2
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère les matrices M de la forme
où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3 a − 5 b est appelé le déterminant de M.
On le note det(M).
Ainsi: det(M) = 3 a − 5 b.
1. Dans cette question on suppose que det(M) 6 = 0
et on pose:
Justifier que N est l’inverse de M.
2. On considère l’équation (E) : det(M) = 3.
On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).
a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).
b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement
si 3(a − 6) = 5(b − 3).
Partie B
1. On pose:
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
2. Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q
on utilise la procédure ci-après :
• Étape 1 : On associe au mot la matrice
où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier
correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
•Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice
telle que Y = QX.
• Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice
telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division
euclidienne de y2 par 26.
• Étape 4 :
À la matrice R
on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
Exemple :
Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO.
3. Procédure de décodage.
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que
Y = QX.
a. Démontrer que 3X = 3Q− 1 Y puis que
3 x1 ≡ 3 r1 − 3 r2 [26]
3 x2 ≡ − 5 r1 + 6 r2 [26]
b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que
x1 ≡ r1 − r2 [26]
x2 ≡ 7 r1 + 2 r2 [26]
c. Décoder le mot SG.
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