TEST n° 3 TS spé maths Mardi 8 novembre 2016
EXERCICE 5 points
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère les matrices :
On dit que la matrice M est diagonalisable s'il existe une matrice P inversible ,
appelée matrice de passage, et une matrice diagonale D telles que:
M = P × D × P − 1 ( P − 1 étant la matrice inverse de P ) .
On peut noter D = diag( 1 ; 0,3 )
Soit la matrice ligne Q = ( a b ) telle que a et b soient deux réels de
l'intervalle [ 0 , 1 ] tels que a + b = 1.
1. a.Trouver la matrice inverse P − 1 de la matrice P.
b. Montrer que la matrice M est diagonalisable.
2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n non nul on a :
Mn = P × Dn × P − 1
En déduire que :
3. On considère la matrice Qn = Q0 × Mn où Q0 = ( 0 1 ).
a. Trouver la matrice ligne Q1 .
b . Trouver la matrice Q5 .
4. On pose: Qn = ( an bn )
a. Exprimer an et bn en fonction de n.
b. Trouver les limites des suites ( an ) et ( bn ).
5. On veut si possible trouver la matrice Q telle que Q = Q × M .
a. L'égalité Q × ( I − M ) = ( 0 0 ) où I est la matrice unité d'ordre 2
permet-elle de trouver Q ?
b. Déterminer Q en résolvant un système d'inconnues a et b, à deux équations,
dont a + b = 1. ( On donnera a et b sous forme fractionnaire )
6 . Que peut - on remarquer ici pour la suite ( Qn ) ?
( La matrice Q obtenue est appelée "état stable" . Il ne dépend pas de n )
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