TEST n° 3 mardi 8 novembre 2016 spé math

                                TEST n° 3   TS  spé maths   Mardi 8 novembre 2016

            EXERCICE        5 points

                       Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

        On considère les matrices :

   Nati1

        On dit que la matrice M est diagonalisable s'il existe une matrice  P inversible ,

        appelée matrice de passage, et une matrice diagonale D telles que:

             M = P × D × P − 1         ( P − 1    étant la matrice inverse de P )  .

        On peut noter D = diag( 1 ;  0,3 )

        Soit la matrice ligne Q = ( a   b  )   telle que a et b soient deux réels de

        l'intervalle [ 0 , 1 ] tels  que a + b  = 1.

       1. a.Trouver la matrice inverse P − 1 de la matrice P.

           b. Montrer que la matrice M est diagonalisable.

      2. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n non nul  on a :

                     Mn = P × Dn × P − 1  

         En déduire que :

                        Nati2

    3. On considère la matrice Qn = Q0 × Mn      où    Q0 = ( 0   1 ).

        a. Trouver la matrice ligne Q1 .

        b .  Trouver la matrice  Q5 .   

    4. On pose:   Qn = ( an     bn   ) 

         a.   Exprimer  an  et   bn     en fonction de n.

         b.  Trouver les limites des suites ( an  )   et  (   bn   ). 

    5. On veut si possible trouver la matrice Q telle que  Q = Q × M .

       a. L'égalité   Q × ( I  − M ) = ( 0   0 )    où  I est la matrice unité d'ordre 2

             permet-elle de trouver Q ?

       b. Déterminer Q  en résolvant  un système d'inconnues a et b, à deux équations,

             dont  a + b = 1.         ( On donnera  a et b sous forme fractionnaire )

    6 . Que peut - on remarquer ici pour  la suite (  Qn ) ?

            ( La matrice Q obtenue est appelée "état stable" . Il ne dépend pas de n )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------