INFO EX 8 1S

INFO LISTE 2 D'EXERCICES SUR LES PROBABILITES          1S           JUIN 2009       

          EXERCICE 8

         

           1.a. Précisons l'univers des possibles Ω.    

             Ω  est l'ensemble des couples ( a , b ) de deux boules distinctes de l'urne.

             Card( Ω ) = 10 ×9 = 90                 Schéma:    

10 9

                                                                                                        1ère       2ième

                Comme modélisation on peut choisir l'équiprobabilité. c'est-à-dire chaque événement

            élémentaire a la même probabilité.

            b. L'univers image X(  Ω  )  = { - 1  ;  5 : 10  }

                En effet le joueur soit reçoit 10 € , soit reçoit 5 €   , soit  on lui retire 1 € .

          c. Recherche des probabilités P( X = - 1 ) , P( X = 5 ) , P( X = 10 ).

           • (  X = 10 ) est l'événement " Obtenir deux boules bleues"

             Dénombrons les couples de deux boules bleues distinctes.

            Schéma:                        

2 1

                                                                                                       1ère       2ième    

               Ainsi    Card( X = 10  ) = 2  × 1 = 2

           Mais    P( X = 10 ) =  Card( X = 10 ) / Card( Ω )  = 2 / 90

                     P( X = 10 ) = 1 / 45

               • (  X = 10 )  est l'événement " Obtenir deux boules vertes"

                  Dénombrons les couples de deux boules vertes distinctes.

                  Schéma:             

3 2

                                                                                                         1ère       2ième     

                  Ainsi   Card( X = 5 ) = 3 × 2   = 6

                  Mais    P( X = 15) =  Card( X = 5 ) / Card( Ω ) = 6 / 90

               P( X = 5 ) = 3 / 45  

        • Comme   P( X =- 1 ) + P( X = 10 ) + P( X = 10 ) = 1

           on a  :   P( X = - 1 ) = 1 - P( X = 5 ) - P( X = 5 )

           c-à-d      P( X = - 1 ) = 1 2 / 90 - 6 / 90 = ( 90 - 2 - 6 ) / 90

           Donc  P( X = - 1 ) =  82 / 90  = 41 / 45  

              P( X = - 1 ) =   41 / 45  

           Cela permet de faire le tableau de la loi de probabilité de X.         

x -1 5 10
P( X = x ) 41 / 45 3 / 45 1/45 1

         2.  Calculons l'espérance de X.

        On a :   E( X ) = - 1 × ( 41 / 45  ) + 5  ×( 3 / 45 ) + 10 ×  ( 1/45 ) = - 16 / 45

         Conclusion:     E( X ) ≈ - 0,35    €

        3. Calculons la variance de X.

            On a:      V( X ) = E( X² ) - ( E( X  )  )² .

            Les valeurs prises par X² sont : 1  ; 25 ; 100 .

            Ainsi:

                 E( X² ) =  ( - 1  )² × ( 41 / 45  ) + 5²  ×( 3 / 45 ) + 10² ×  ( 1/45 )

 c-à-d        E( X² ) = 41 / 45   + 75 / 45 + 100 / 45 = 216 / 45

  Donc       V( X )  = 216 / 45 - 256 / 2025 = ( 216 × 45 - 256 )/ 2025  = 9464 /2025

      Conclusion:         V( X ) ≈ 4,673

           4. Donnons l'écart type de X        

                        σ( X ) = √ V( X ) 

         Conclusion:   σ( X ) ≈2,16

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