INFO TEST n ° 7 LOGIQUE

             

 NOM :  ......               PRENOM:  ...................... DATE : Oct. 2010         CLASSE:  BTS

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  • Soit la fonction f : IR     →    IR          définie sur IR. L'application f est-elle injective ?

                                x →  5 x² - 2 x + 1 

     NON . 

          On peut s'en douter car la courbe de f est une parabole,

          donc admet un axe de symétrie D vertical.

         ( Comme f ' ( x ) = 0 quand x = 0, 2  , cet axe de symétrie est  D:  x = 0, 2 

            Ainsi pour le contre exemple il faut prendre des valeurs de x symétyriques par rapport à  0, 2 

           comme 0, 2 + 1 et  0, 2 - 1   )

      Contre exemple :          f( 1, 2 ) =  5, 8      et    f( - 0,8 ) = 5, 8

                                               Or      1, 2  ≠  0, 8

                                          Donc  :   f  ne conserve pas la distinction.

  • Soit  fonction g : IR    →    IR      définie sur IR. L'application g est-elle une surjection de IR sur IR?

                                x → 2 x + 1 

 OUI. 

          Tout réel y admet au moins un antécédent x par g dans IR.

          En effet:

                      Soit y dans IR quelconque.

                                      g( x ) = y

                   s'écrit          2 x + 1 = y 

                    c-à-d            x = ( y - 1 ) / 2

           Ansi tout y dans IR admet le réel ( y - 1 ) / 2 comme antécédent par g dans IR.

   •   Soit x dans IR .       

        • • Traduire sans le connecteur => la propriété suivante:

              5 x + 1 > 0   =>  x - 1 ≥  0          ( 1 )

        L'implication s'écrit :      NON(  5 x + 1 > 0 )   ou    x - 1 ≥  0

                    c-à-d                  5 x + 1 ≤ 0   ou   x - 1  ≥  0

       • • Résoudre dans IR   ( 1 ).

             ( 1 )  devient    x ≤ - 1 / 5   ou   x   ≥ 1

             L'ensemble solution est donc:    SIR = ]   -  ∞  , - 1 / 5 ]  U  [ 1 , +  ∞  [

     • • Donner la négation de ( 1 )

              La négation de ( 1 ) est    5 x + 1 > 0   et   x - 1 < 0

   • Soit p , q deux propositions.

      •  •  Donner une proposition équivalente à :     p ou ( p et q ).

              Elle  équivaut à :     (  p ou p ) et  ( p ou q )

                      c-à-d   p ou q

       •  •  Donner une proposition équivalente à: 

              

            c'est           p  et (   Non ( p ) et Non ( q )   )  

                              d'après les lois de Morgan

          c-à-d              p  et   Non ( p )   et  Non ( q ) 

         c-à-d          nous avons  F   la proposition fausse 

     • Donner la négation de

        

         La négation est:

          Pour tout y dans IR+    il existe au moins x dans IR tel que  I x I = y        

         c-à-d   

                  

          La négation est-elle vraie?

          OUI.

          Pour tout réel positif y  il existe un réel x ,  ici  x = - y  , dans IR tels que   I x I = y.

               ( y conviendrait aussi. Il n'y a pas unicité. )

     •  Soit x et y deux réels.

        Traduire à l'aide d'un connecteur ( x , y ) = ( - 5 ; 6 )

          Ce se traduit par :     x = - 5    et   y = 6

      •   Résoudre dans IR  :    ( 5 x - 1 ) ( 2 x - 3 ) > 0

              On a  :    ( 5 x - 1 ) ( 2 x - 3 ) = 0  ssi  x = 1 / 5  ou  x = 3 / 2

             Le trinôme du second dégré factorisé   ( 5 x - 1 ) ( 2 x - 3 ) 

            est du signe de a = 10  quand x est

            à l'extérieur des racines  1 / 5  et   3 / 2 .

             Donc  

             SIR = ] -  ∞   , 1 / 5  [ U ] 3 / 2  , + ∞ [ 

            On pouvait aussi faire un tableau de signe     

       • Donner le tableau de variation de la fonction f : x →  x3 -  3 x2  + 2  définie sur IR.

        ( On donnera d'abord le signe de f ' ( x )   )

         On a f qui est une fonction polynôme. Elle est donc définie et dérivable dans IR.

            On a  :   f ' ( x ) = 3 x² - 6 x = 3 x ( x - 2 )

           Ainsi :    f '( x ) = 0   ssi  x = 0 ou  x = 2   

x - ∞                         0                                 2                                    +∞ 
f ' ( x )             +                0               -                  0                        +
f( x )             ↑                 2               ↓                - 2                  ↑  

 

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