INFO EX 5 6 7 8 PROD SCALAIRE

√INFO EX 5  EX 6  EX 7  EX 8           PRODUIT SCALAIRE                  mars 2009         

  EX  5

          On dispose des points  A( - 3 ;  - 1 )  , B ( - 2 ;  -3 )   et C ( 1 ; 1 ) dans le plan

           muni d'un repère orthonormal.

          Le triangle ABC est-il rectangle en C ?

        Réponse:

           Pour savoir si le triangle est rectangle en C  nous allons regarder

           si  l'on a      vect(CA ) . vect( CB ) = 0.

          On a :   vect( CA )   de coordonnées ( - 4 ; - 2 ) .

          On a  : vect( CB ) de coordonnées ( - 3 ; - 4 ).

         Ainsi la définition analythique du produit scalaire permet d'écrire:

                       vect(CA ) . vect( CB ) = ( - 4 ) ( - 3 ) + ( - 3 ) ( - 4 ) = 12 + 12 = 24

             Donc  vect(CA ) . vect( CB ) ≠  0.

             Conclusion :          Les vecteurs  vect( CA )  et vect( CB ) ne sont pas orthogonaux.

                                          Le triangle ABC n'est pas rectangle en C.

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           EX 6    Soit deux vecteurs  vect( u ) et vect( v ) tels que :

            •      vect( u ) . vect( v ) = - 3    

            •         vect( u ) . vect( u ) = vect(  u ) ² = 6        ( Carré scalaire du vecteur  vect( u )  )

            •         vect( v ) . vect( v )  = vect( v ) ² = 4         ( Carré scalaire du vecteur  vect( v )  ) 

               Calculer   ( 3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) )

                   Réponse:   Notons  λ = ( 3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) )

                      On a:      (   COMME S'IL S'AGISSAIT DE DEVELOPPER  DANS IR )

            λ =  3 vect( u ) ²   + 6  vect( u ) . vect( v ) - 5 vect( v ) . vect( u ) - 10   vect( v ) ² 

        c-à-d

            λ =  3 vect( u ) ²   +  vect( u ) . vect( v )  - 10   vect( v ) ² 

              λ =  3  (  6 )   - 3  - 10 ( 4 ) = 18 - 3 - 40 = - 25

               λ =   - 25

 Conclusion :      3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) ) = - 25

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          EX 7       ABC est  un triangle quelconque.

               a . Développer  :   vect( BC )²  =  ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ²

               b  Montrer la formule d'Al-Kashi:   a² = b ² + c ²  - 2 bc cos (BÂC )

               avec             a = BC             b = AC              c = AB

               c . Trouver BC sachant que AB = 3   AC = 4    et     BÂC = π / 3 .

        Réponse :   

         a       On a :  ( COMME POUR  UNE EGALITE REMARQUABLE )

          ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = vect( B A )  ²  + vect( A C ) ² +  2 vect( B A ) .  vect( A C )

              c-à-d

         ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ²  + A C ² +  2  ( - vect( AB )  ) .  vect( A C )

   c-à-d         ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ²  + A C ²   -   2   vect( AB ) .  vect( A C )

  c-à-d            ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ²  + A C ²   -   2  AB  × AC  cos ( BÂC ) 

          c-à-d 

     Conclusion:      vect( B C )²   =    B A ²  + A C ²   -   2  AB  × AC  cos ( BÂC ) 

                 b. En  posant :     a = BC             b = AC              c = AB

           il vient :       

             Conclusio :      a²    =    b ² + c ²  - 2 bc cos ( BÂC )

                   c.   Avec       AB = 3             AC = 4    et     BÂC = π / 3

                        on a  :    b = 4             c = 3             BÂC = π / 3               

                  on obtient :    a² = 4²  + 3²   - 2 ( 4 ) ( 3 ) cos   π / 3   

                        c-à-d                  a² = 16 + 9 - 24 (   1 / 2 ) =   25 - 12 =  13

              Conclusion :   a = √ 13

                                    BC = √ 13

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        EX 8      Soit A et B deux points distincts.   Soit  I l'isobarycentre des points A et B.

           Montrer que MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2

        Réponse:    On a:

       MA² = vect( MA  ²  = ( vect ( MI ) + vect( IA ) )²   =  vect( MI )² + 2 vect(MI ). vect( IA ) + vect( IA )²

       MB² = vect( MB ) ²   = ( vect ( MI ) + vect( IB ) )² = vect( MI )² + 2 vect(MI ). vect( IB ) + vect( IB )²

      Sommons  et  "  factorisons ".

       Il vient:

            MA² + MB² = 2 vect( MI )² + 2  vect(MI )  . ( vect( IA ) + vect(IB ) ) +  vect( IA )² + vect( IB )² 

                   Or      vect( IA )+ vect(IB ) est le vecteur nul  car  I est le milieu du segment [ AB ].

         Donc            MA² + MB² = 2 vect( MI )² + vect( IA )² + vect( IB )²  

         c-à-d              MA² + MB² = 2 MI ² +   IA ² + IB ²  

           Mais    IA = IB  = AB / 2       D'où    IA² = IB² =AB² / 4        I est le milieu du segment [ AB ].

           Ainsi            MA² + MB² = 2 MI ² +  AB² / 2 

         Conclusion : On a bien le résultat.