√INFO EX 5 EX 6 EX 7 EX 8 PRODUIT SCALAIRE mars 2009
EX 5
On dispose des points A( - 3 ; - 1 ) , B ( - 2 ; -3 ) et C ( 1 ; 1 ) dans le plan
muni d'un repère orthonormal.
Le triangle ABC est-il rectangle en C ?
Réponse:
Pour savoir si le triangle est rectangle en C nous allons regarder
si l'on a vect(CA ) . vect( CB ) = 0.
On a : vect( CA ) de coordonnées ( - 4 ; - 2 ) .
On a : vect( CB ) de coordonnées ( - 3 ; - 4 ).
Ainsi la définition analythique du produit scalaire permet d'écrire:
vect(CA ) . vect( CB ) = ( - 4 ) ( - 3 ) + ( - 3 ) ( - 4 ) = 12 + 12 = 24
Donc vect(CA ) . vect( CB ) ≠ 0.
Conclusion : Les vecteurs vect( CA ) et vect( CB ) ne sont pas orthogonaux.
Le triangle ABC n'est pas rectangle en C.
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EX 6 Soit deux vecteurs vect( u ) et vect( v ) tels que :
• vect( u ) . vect( v ) = - 3
• vect( u ) . vect( u ) = vect( u ) ² = 6 ( Carré scalaire du vecteur vect( u ) )
• vect( v ) . vect( v ) = vect( v ) ² = 4 ( Carré scalaire du vecteur vect( v ) )
Calculer ( 3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) )
Réponse: Notons λ = ( 3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) )
On a: ( COMME S'IL S'AGISSAIT DE DEVELOPPER DANS IR )
λ = 3 vect( u ) ² + 6 vect( u ) . vect( v ) - 5 vect( v ) . vect( u ) - 10 vect( v ) ²
c-à-d
λ = 3 vect( u ) ² + vect( u ) . vect( v ) - 10 vect( v ) ²
λ = 3 ( 6 ) - 3 - 10 ( 4 ) = 18 - 3 - 40 = - 25
λ = - 25
Conclusion : 3 vect( u) - 5 vect( v ) . ( vect( u ) + 2 vect( v ) ) = - 25
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EX 7 ABC est un triangle quelconque.
a . Développer : vect( BC )² = ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ²
b Montrer la formule d'Al-Kashi: a² = b ² + c ² - 2 bc cos (BÂC )
avec a = BC b = AC c = AB
c . Trouver BC sachant que AB = 3 AC = 4 et BÂC = π / 3 .
Réponse :
a On a : ( COMME POUR UNE EGALITE REMARQUABLE )
( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = vect( B A ) ² + vect( A C ) ² + 2 vect( B A ) . vect( A C )
c-à-d
( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ² + A C ² + 2 ( - vect( AB ) ) . vect( A C )
c-à-d ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ² + A C ² - 2 vect( AB ) . vect( A C )
c-à-d ( vect( B A ) + vect( A C ) ) ² = B A ² + A C ² - 2 AB × AC cos ( BÂC )
c-à-d
Conclusion: vect( B C )² = B A ² + A C ² - 2 AB × AC cos ( BÂC )
b. En posant : a = BC b = AC c = AB
il vient :
Conclusio : a² = b ² + c ² - 2 bc cos ( BÂC )
c. Avec AB = 3 AC = 4 et BÂC = π / 3
on a : b = 4 c = 3 BÂC = π / 3
on obtient : a² = 4² + 3² - 2 ( 4 ) ( 3 ) cos π / 3
c-à-d a² = 16 + 9 - 24 ( 1 / 2 ) = 25 - 12 = 13
Conclusion : a = √ 13
BC = √ 13
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EX 8 Soit A et B deux points distincts. Soit I l'isobarycentre des points A et B.
Montrer que MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2
Réponse: On a:
MA² = vect( MA ² = ( vect ( MI ) + vect( IA ) )² = vect( MI )² + 2 vect(MI ). vect( IA ) + vect( IA )²
MB² = vect( MB ) ² = ( vect ( MI ) + vect( IB ) )² = vect( MI )² + 2 vect(MI ). vect( IB ) + vect( IB )²
Sommons et " factorisons ".
Il vient:
MA² + MB² = 2 vect( MI )² + 2 vect(MI ) . ( vect( IA ) + vect(IB ) ) + vect( IA )² + vect( IB )²
Or vect( IA )+ vect(IB ) est le vecteur nul car I est le milieu du segment [ AB ].
Donc MA² + MB² = 2 vect( MI )² + vect( IA )² + vect( IB )²
c-à-d MA² + MB² = 2 MI ² + IA ² + IB ²
Mais IA = IB = AB / 2 D'où IA² = IB² =AB² / 4 I est le milieu du segment [ AB ].
Ainsi MA² + MB² = 2 MI ² + AB² / 2
Conclusion : On a bien le résultat.