EXERCICE N°48 pour le 16/04/10

                            EXERCICES n° 48                 POUR LE VENDREDI 16/04/10                     1S1

      •   EXERCICE 48

               Soit la fonction f : x → 3 - 1 / x définie sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .

                Soit la suite ( u )  définie sur IN* par :

                       un  = f ( n ) pour tout n dans  IN* .

            a. Tracer dans un repère la représentation graphique de f.

                Placer sur le graphique   u1    ,  u2   ,   u3   ,  u4   ,  u5  .

            b Donner le sens de variation de la suite ( u ).

           c. Montrer que pour tout n dans  IN* on a   un  ≤ 3.

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          Réponse:

      a. Courbe de f.

          

               

                 u1   = 3 - 1 / 1 = 2

                 u2   = 3 - 1 /  2 = 2, 5

                 u3     =  3 - 1 / 3 = 8 / 3

                  u4     =  3 - 1/ 4 = 11/ 4

                  u5     =  3 - 1 / 5 = 14 / 5

          Plaçons les cinq premiers termes sur le graphique.

          Pour avoir   u1    ,  u2   ,   u3   ,  u4   ,  u5  sur l'axe des abscisses

          On trace la droite D: y = x .

          Elle sert à  rapatrier les termes de la suite, qui sont sur l'axe des ordonnées ,

         sur l'axe des abscisses.                                            

         b. Donnons le sens de variation de la suite ( u ).

               La fonction f est définie et dérivable dans  IR* .

                On a  sur IR*   :       f ' : x → - ( - 1 / x² )  

                      c-à-d                 f ' : x → 1 / x²  

                Ainsi   f ' > 0 sur  IR* .

                 La fonction f est croissante sur  IR* .

                IN*  est inclus dans un intervalle de  IR* .

               Donc la restriction de f  à IN*  est croissante.

              Conclusion: La suite ( u ) est croissante sur  IN* . 

        c.  Montrons que pour tout n dans  IN* on a   un ≤ 3.

                    On a  :     un    = 3  -   1 / n     pour tout n dans IN* .

                      Soit n dans  IN* .

                    On a :         1 / n  > 0   

                    Donc    - 1 / n < 0

                    D'où       3  -  1 / n   < 3

                    c-à-d      un    < 3

                    Conclusion:   un ≤ 3  pour tout n dans    IN* .

                ( On dit que la suite est majorée par 3 sur  IN* . )