INFO TEST n° 2 MATRICES Spé maths TS

             INFO    TEST n°2   sur les matrices   Spé. maths S         3 novembre 2015

                       Faire trois exercices parmi ceux proposés au moins.

         EXERCICE 1 :

              Une entreprise fabrique des appareils de trois types : L , C , V.

             • Pour un appareil de type L, on a besoin de 10 Kg d'acier,  2 Kg de peinture  et 10 heures de travail.

             • Pour un appareil de type C, on a besoin de 4 Kg d'acier , 1 Kg de peinture et 6 heures de travail.

             • Pour un appareil de type V on a besoin de 10 Kg d'acier , 1 Kg de peinture et 12 heures de travail.

              On appelle respectivement x , y , z les quantités d'appareils de types L, C , V fabriqués 

              et a , p , t les quantités d'acier ( en Kg ) , de peinture ( en Kg ) et de travail ( en heures )

              nécessaires à leur fabrication.

                 On note:

              1. Traduire la fabrication par une égalité matricielle  M x X = Y   où

                 l'on précisera  la matrice carrée  M d'ordre 3.

                   REPONSE:

             • 10 x + 4 y + 10 z  est le nombre de Kg d'acier nécessaires pour produire 

                               x fois L et y fois C et z fois V.     On dispose de a Kg d'acier.        

              • 4 x + 1 y + 1 z  est le nombre de Kg de peinture nécessaires pour produire 

                               x fois L et y fois C et z fois V.             On dispose de p kg de peinture.  

               • 10 x + 6 y + 12 z  est le nombre d'heures nécessaires pour produire 

                               x fois L et y fois C et z fois V.            On dispose de t heures        

                 Faisons déjà un tableau pour clarifier la situation:

        On a :

                 c-à-d      M x X = Y

                   où :

                  Conclusion :

              2. On donne la matrice M ' suivante:

                  Calculer le produit M ' x M .

                 Réponse:  

                       Avec la calculatrice on obtient :

                               M ' x M = I₃ 

                      On peut en déduire que la matrice carrée M a pour inverse M '

               3. Exprimer la matrice X en fonction des matrices  M ' et Y.

                  Réponse:    

                            On a :     M x X = Y

                             Donc

                                           M ' x M x X = M ' x Y

                            Or            M ' x M = I

                          Donc       I x X = M ' x Y

                           c-à-d

                           Conclusion :     X = M ' x Y 

               4. En un mois l'entreprise  a utilisé 4200 Kg d'acier , 800 Kg de peinture

                    et 5000 heures de travail. Quelle a donc été sa production?

                    Réponse:  

                           On a :  

                         On obtient  à la calculatrice  pour X = M ' x Y :

             Conclusion :

                L'entreprise fabrique  200 produits L , 300 produits C et 100 produits V.

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    EXERCICE 2

          On donne la matrice :

                                            où x est un nombre réel.

             Déterminer x pour que  :

     Réponse:

                     Conclusion:   x =  − 2

                    En effet :   

            On a  :

              Donc 

                  se traduit par un système de quatre équations:

                      • x² + 2 = 6

                      •  x + 3 = 1

                       •   2 x + 6 = 2

                        • 11 = 11   

                    c-à-d             • x² = 4   c-à-d       x = 2 ou x = − 2

                                          •  x =  − 2

                                         •   2 x =  − 4   c-à-d       x = − 2

                                           • 11 = 11  

                           La seule valeur de x qui respecte les quatre égalités est    x =  − 2

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         EXERCICE 3

               Soit la matrice A carrée d'ordre 3:

               et la matrice unité d'ordre 3 :     

          a. Calculer:  :

              Réponse:

                       Avec la calculatrice on a:

                         A²   = A 

              et

     b. On admet qu'il existe une suite ( a_n ) définie sur IN* telle que :

                           Bⁿ = a_n  A + I    pour tout entier naturel non nul n 

               Calculer  a_{n + 1}  en fonction de a_n    .  

            (   On rappelle que:   B^{n + 1} = Bⁿ x B  )

                  Réponse :

                      On a :        Bⁿ = a_n  A + I

                      Donc en multipliant à gauche par B on obtient :

                                    B^{n + 1} = B x ( a_n  A + I  )

                         c-à-d 

                               B^{n + 1} =   a_n  B  x A + B x I  

                           Mais  on a vu que B = 2 A + I

                           Donc en reportant:

                             B^{n + 1} =   a_n ( 2 A + I ) x A +  2 A + I

                     c-à-d    

                               B^{n + 1} =   a_n ( 2 A² + I x A )  +  2 A + I

                         Mais  on a vu  A² = A

                             D'où :

                        B^{n + 1} =   a_n ( 2 A + A )  +  2 A + I

                        c-à-d    

                              B^{n + 1} = 3  a_n  A   +  2 A + I

                      c-à-d  

                                B^{n + 1} = (  3  a_n  + 2 ) A   +  I

                    c-à-d   

                            B^{n +1} = a_{n+ 1}   A + I   avec     a_{n + 1}  =  3  a_n  + 2

                       Conclusion :    a_{n + 1}  =  3  a_n  + 2

                          pour tout entier naturel n non nul

                    De plus comme   B¹  = B = 2 A + I 

                                 on a :   a₁  = 2                      

         c. Etablir par récurrence sur IN* que :

                             1 +  a_n  = 3 ⁿ     pour tout  entier naturel non nul n

                Réponse: 

                 • pour n = 1

                                 1 +  a_n  = 1 +  a₁  = 1 + 2 = 3

                                et  3 ⁿ  = 3 ¹  = 3  

                     Pour n = 1 l'égalité est vraie.

                 •  Soit n dans IN* quelconque.

                        Montrons que  si     1 +  a_n  = 3 ⁿ     alors      1 +  a_{n+ 1}  = 3 ^{n + 1}

                     On a montré que  :    a _{n + 1}  =  3 a_n + 2

                  Ajoutons  1 à chaque membre :

                    1+   a _{n + 1}  = 1 + 3 a_n + 2

                     c-à-d

                           1+   a _{n + 1}  = 3 a_n + 3 = 3 ( a_n + 1 )

                     Mais on a :      1 +  a_n  = 3 ⁿ  

                  Donc :       1 +   a _{n + 1}  = 3 ⁿ  x 3 =  3 ^{n + 1}   

                   c-à-d       1 +  a_{n+ 1}  = 3 ^{n + 1}

                 Conclusion : Le résultat est prouvé sur IN*

           d. Exprimer  alors Bⁿ en fonction de A,  I et n.

                 Réponse :

                     On a :   Bⁿ = ( 3 ⁿ   −  1 ) A + I

                Il vient :

               c-à-d

              Conclusion :

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       EXERCICE 4 

          Trois bonnes élèves Orangine , Avocatine  et Citronine, appelées respectivement

          e₁ , e₂ et e₃  ,ont quatre notes de maths,

          n₁ , n₂ , n₃ , n₄  au cours du trimestre.

           Les notes d'Orangine sont dans l'ordre: 14 ; 15 ; 17 ; 13.

           Celles de avocatine sont : 13 ; 15 ; 19; 14.

           Celles de Citronine sont : 17 ; 18 ; 16 ; 15

        1. Ecrire la matrice A dont le coefficient a_{i j}   à la i ième ligne et j ième colonne

           représente la note n_i de e_j . Quel est le type de la matrice A ?

           Réponse:

          La   j ième colonne représente les note de e_j  

              La matrice A des notes de chacune en colonne est :                   

         2. Les notes sont sur 20.

             Les deux premières sont des interrogations écrites ( coefficients 2 ),

              la troisième est un devoir maison ( coefficient 1 ) et la quatrième est un contrôle ( coefficient 3 ).

             Exprimer la matrice ligne B correspondant à la moyenne trimestrielle de maths des élèves e₁ , e₂  et e₃  à

              l'aide d'une matrice coefficient C et de la matrice  A.

               Réponse:    Soit      C  = (   2     2    1       3  )   la matrice des coefficients.

                                       C est de type ( 1 ; 4 )

                                       A est de type    ( 4 ; 3 )

                               Donc   C x A est une matrice de type ( 1 ; 3 )

                              B = ( 1 / 8 ) C x A

                     Conclusion :   B = (   14,25       14,63      16,38 )

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        EXERCICE 5

       L' INSEE veut comparer les prix de cinq articles notés p₁ , p₂ , p₃ , p₄ , p₅

        distincts dans trois grands surfaces différentes de la région.

       Les enquêteurs ont construit le tableau comparatif suivant:

           Pour comparer la dépense d'un acheteur selon la grande surface, on considère un  lot       

           indiquant pour chaque article la quantité achetée.

            Par exemple on se place ici dans le cas d'un acheteur  pour qui

            les quantités correspondant aux 5 articles sont: 2 ; 1 ; 3 ; 3 ; 2

          1.   Déterminer, à l'aide d'un calcul matriciel, le prix d'un tel lot  dans les

           grandes surfaces.

            On peut considérer   :

             Conclusion :

              • Pour la grande surface 1   le montant du lot est :    30 €

              • Pour la grande surface 2   le montant du lot est :    29,8 €

              • Pour la grande surface 3   le montant du lot est :    31,5 €

          2.  Quelle est pour ce lot la grande surface la plus avantageuse?

            Réponse: 

              C'est la grande surface 2 qui est la moins chère.

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