V.A.R. DE LOI NORMALE


             VARIABLE ALEATOIRE DE LOI  NORMALE           BTS                   OCT 08


 

            1.  Variable aléatoire continue X.

                 C'est une v.a.r. X qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle

                 comme    IR , IR.....  etc

                Par exemple ce peut être la durée de vie d'un composant  

                électronique.

                 La loi de probabilité n'est plus caractérisée par un tableau

                 car il y aurait  une infinité de colonnes.

                   La loi de probabilité de la v.a.r continue X est une fonction,

                    densité de probabilité, f . 

                    f est elle même définie dans IR , continue , à valeur dans

                   l'intervalle [ 0 , 1 ] et  l'aire sous la courbe de f , sur IR , vaut 1.

                   (  Ce qui s'écrit ∫-∞ +∞   f ( t ) dt = 1    )


 

         2. EX     Soit la v.a.r  continue X de fonction densité de probabilité

                          f : t→  ( 1 / √(2 Π ) )   e( - t²  /  2)    

                                      sur IR .

                 ( Dans ce cas X est dite de loi normale N ( 0 ; 1 ) comme on le verra . )


 

        3. DEFINITION.

              Soit X une v.a.r continue de fonction densité de probabilité f.

              Soit a , b des réels.

                On définit :    P( X = a ) = 0 .

                                     P( X < a ) = P( X ≤ a ) = ∫-∞ a   f ( t ) dt

                 P( a < X < b ) = P( a ≤ X ≤ b) = ∫a b   f ( t ) dt      si  a  ≤ b   

                           P ( X > a ) = P( X ≥ a ) = 1 - P( X < a ) = 1 - P( X ≤ a )

                  ( Ces formules  servent peu sous cette forme pour les exercices pratiques.)

                                       


 

        4. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE X DE LOI NORMALE  N( m ; σ).

              C'est une v.a.r continue de fonction densité de probabilité

                f : t → ( 1 / (σ√(2 Π ) ))   e - ( ( t - m) / σ)²   / 2 )    

                      m étant un réel.  

                     σ  étant un réel positif strictement positif.

                      E( X ) = m   et  σ( X ) =  σ  .

                La fonctionde répartition est F : x →-∞ x   f ( t ) dt

                   c-à-d            F( x ) =P( X < x ) = P( X ≤ x )


 

       5. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE X DE LOI NORMALE  N( 0 ; 1).                   

             C'est une v.a.r continue de fonction densité de probabilité

                         f : t→  ( 1 / √(2 Π ) )   e( - t²  /  2)  

 

          6. REMARQUE .

            Chaque fois on se raménera à une v.a.r continue CENTREE REDUITE.

             Si X est une v.a.r continue de loi  normale N( m ; σ)   

             alors on prendra alors la v.a.r continue centrée réduite   Y =( X- m) / σ 

                         de   loi N( 0 ; 1 ).

                        La table pourra être utilisée alors.


 

              7. NOTATIONS.TRES IMPORTANTES

                           Soit a , b des  réels.

                          Soit X une v.a.r continue de loi N( 0 ; 1).

                         On note:      ∏( a ) = P ( X ≤ a ) = P( X < a ) = F( a )

                          Il en résulte d'autre formules.   

                   P ( a ≤ X ≤ b ) = P( a < X < b ) = ∏( b )  - ∏( a )    si a ≤ b .

                                 ∏( - a ) =  1 - ∏( a )


 

             8. APPROXIMATION D' UNE LOI BINOMIALE B( n ; p ) PAR UNE LOI NORMALE.

                 Soit X une v.a.r ( discrète) de loi binomiale B ( n ; p )

                  Si  n  est  grand  et  p n'est pas proche des bornes de l'intervalle [ 0 , 1 ]

                 alors on peut approcher X par la v.a.r continue  Y  de loi normale N ( E( X ) ; σ( X )  )

                 c'est-à-dire   N( np  ; √( np ( 1 - p ))   )


 

            9.  APPROXIMATION D' UNE LOI  de POISSON  PAR UNE LOI NORMALE.

                       Soit X une v.a.r ( discrète) de loi de Poisson de paramètre λ > 0 .

                       On peut l'approcher par la v.a.r continue Y de loi normale N(  E( X ) ; σ( X )  )

                      c'est-à-dire      N(  λ  ; √( λ ) )  .