EX 1 DU SUJET 2003

         BTS                     SUJET 2003


 

           EXERCICE 1     (  7 POINTS )  

                   Pour cette exercice on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie 

                  10-3   près .

                 Dans  une ville dont la population est très jeune , on sait qu'il y a 39,2 % de mineurs

                 ( et par conséquent 60,8% d'adultes.)

                   On considère des échantillons non exhaustifs ( tirage au hasard et avec remise )

                   de 100 personnes parmi les habitants de cette ville.

                   1. Soit X la variable aléatoire qui, associe , à chaque échantillon de 100 personnes,

                        le nombre d'adultes qu'il contient.

                       a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

                       b. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable X.

                      c. Calculer la probabilité de l'événement ( X = 60 ). On prendra  (100 60  ) ≈ 1,3746 × 1028

                    2. On approche la variable X par une variable suivant une loi normale N ( m ; σ) .

                         On précisera la valeur et la signification des paramètres m et  σ.

                  3. Pour la suite de cet exercice  , on prendra m = 61 et σ =4,9.

                       a. On souhaite calculer une valeur approchée de P(X=60) , en utilisant la

                           variable aléatoire Y .  Pour cela , par correction de continuité, calculer

                            P( 59,5 ≤  Y  ≤  60,5).

                      b. On veut calculer la probabilité pour que l'échantillon contienne

                          au moins 55 adultes. Pour cela , calculer P( Y  ≥ 54,5).


 


 

 


 

   INFORMATION         EX 1          SUJET                BTS 2003


         1.a. On répète 100 fois une épreuve de Bernoulli , de façon indépendante, comportant

               deux issues " Adulte" ,"Mineur".

                La probabilité de "Adulte" est p =0,608.

                 La probabilité de "Mineur" est q = 1 - p = 0,392.  

                Donc la variable aléatoire X qui indique le nombre de "Adultes " suit la loi

                binomiale B( 100; 0,608).

             b . E(X ) = np    c-à-d    ici  E(X) = 100×0,608 = 60,8

                  E( X ) = 60,8

                 L'écart-type est √(npq) . Donc  σ(X) =√(60,8 × 0,392) = 4,8820.   

                σ(X)  ≈  4,882

            c.   P( X = 60 ) = (100 60  )  0,60860 × 0,39240     ≈  0,0801

                       Soit donc:    P( X = 60 ) = 0, 080        

         2.   m  est l'espérance de Y et σ est son écart- type.

                 On prend pour m l'espérance de X et pour σ l'écar-type de X.

                    Ainsi m = 60,8  et σ = 4,882.

                On approche X par la variable aléatoire Y de loi normale N (60,8 ; 4,882)

             3. On centre et on réduit Y en considérant la nouvelle variable aléatoire T

               de loi normale N( 0 ; 1 ) en posant  :  T = ( Y - m ) /  σ.

               Alors  T est d'espérance 0 et d'écart-type 1.

                On pose pour simplifier ,d'après l'énoncé, m = 61  et σ = 4,9.

                Y est une variable aléatoire "continue" .  Il nous faut considérer des

                probabilités d'intervalles.

                La condition 59,5 ≤ Y ≤60,5     s'écrit     (59,5 - 61) / 4,9 ≤ T ≤ ( 60,5 - 61 ) / 4,9.

                Ainsi:

                P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 ) = P (  (59,5 - 61) / 4,9   ≤    T   ≤ (   60,5 - 61 ) / 4,9)

               c-à-d    P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 )   = P (  - 15 / 49   ≤  T   ≤   - 5 / 49  ) = ∏ (  - 5 / 49  ) - ∏ ( - 15 / 49   )

              P( 59,5 ≤ Y ≤ 60,5 ) = 1 -  ∏( 5 / 49 ≤ T ) - ( 1 - ∏( 15 / 49) )

             c-à-d P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) =  ∏( 15 / 49) - ∏( 5 / 49)    

              c-à-d     P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) = ∏( 15 / 49) - ∏( 5 / 49)     

               On dispose de la table pour loi normale N ( 0 ; 1 ) .  

t 0,00 0,01
0,0 0,5000 0,5040
0,1 0,5398 0,5438
0,2 0,5793 0,5832
0,3 0,6179 0,6217

                   ••     ∏( 15 / 49 ) ≈ ∏ (  0,30612)     Mais  cette valeur n'est pas donnée par la table

                        La table donne:    ∏( 0,30 )  ≈   0,6179  

                       ( à l'intersection de la ligne 0,3 avec la colonne 0,00  )     

                        La table donne aussi   ∏( 0,31 ) ≈ 0,6217   

                        ( à l'intersection de la ligne  0,3 et de la colonne 0,01 )   

                       POUR APPROCHER  ∏ ( 0,30612) on fait un partage   proportionnel:    

                          On considère:        0,6179 +  ( ( 0,6217 - 0,6179 ) / 0,01  )   × ( 0,30612- 0,3 )

                          On obtient :      ∏(  0,30612  )   ≈ 0,62023       

                    ••   Pour ∏ ( 5 / 49 )  =  ∏( 0,1020 )  on procède de la même façon.

                          La table donne :    ∏( 0,10 )   ≈   0,5398

                          La table donne :   ∏( 0,11 ) ≈   0,5438

                            On obtient :   0,5398 +(  ( 0,5438 - 0,5398 ) / 0,01 ) × ( 0,1020 - 0,10 )

                               Ainsi :         ∏( 0,1020 ) ≈ 0,54060

                                                          0,62023 - 0,54060 = 0,07963

                            On peut prendre:  0,08  comme valeur approchée de ∏( 15 / 49 ) - ∏( 5 / 49 )

 

 

                      Conclusion:     P( 59,5 ≤ Y ≤60,5) = 0,08   

 

             4. Calcul de P( Y ≥ 54,5 ).

                    P( Y ≥ 54,5 )  =    P( ( Y - 61 ) / 4,9 ≥ ( 54,5 - 61 ) / 4,9 )    

                   P( Y ≥ 54,5 )  =    P(  T  ≥  - 65 / 49 ) 

                   P( Y ≥ 54,5 )  =  1 -   P(  T  <  - 65 / 49 )   = 1 - ∏(  - 65 / 49 )

                    P( Y ≥ 54,5 )  =   1 - (  1 -  ∏(  65 / 49 )  ) =  ∏(  65 / 49 )

                      P( Y ≥ 54,5 )  =    ∏(  65 / 49 )   ≈   ∏(  1,3265 )

                  Avec la table:      ∏( 1,32 )  ≈  0,9066   

                                              ∏( 1,33 ) ≈ 0, 9082  

                   Considérons :   0,9066 + ( ( 0,9082 - 0,9066 ) / 0,01 ) × ( 1,3265 -1,32 )

                  On obtient :   ∏( 1,3265 ) ≈ 0,90764

                 Conclusion:    ∏( 1,3265 ) ≈ 0,908  au millième près.            

t 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
... .... .... .. ..
... ... .. ... ...
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082


           Rappel:   Quand T est une v.a.r de loi normale N( 0 ; 1 )

                               ∏( a ) = P( T  ≤ a )  avec a un réel.

                               ∏ est la fonction de répartition de T

                                ∏(- a ) = 1 - ∏(a)

                               P( a ≤  T ≤ b )  = ∏( b )  - ∏( a )     quand a  ≤  b