EXERCICE 22 1 ES Leçon systèmes

  INFO     Samedi 12 septembre 2009     1 ES     Leçon : Systèmes linéaires.   

          EXERCICE 22

           Résoudre dans IR  le système suivant :

             x + 3 y + z = 8                   L1

             4 x - 3 y + 3 z = 1                L2

             5 x + 2 y - 3 z = 6                 L3

         Réponse .

                   Méthode par triangularisation  ( Méthode du pivot de GAUSS . )

                  Le système s'écrit plus simplement :             

 / 1  3  1 | 8 \
| 4 -3  3 | 1  |
 \ 5  2 -3 | 6 /

    Le pivot est 1.

          L2 ← L2 - 4 L1

           L3 ← L3 - 5 L1

      On obtient le système équivalent suivant:   

 /  1   3    1  |  8  \
| -15  -1 |  -31   |
 \ 0  -13  -8 |  -34  /

   On change l'ordre des inconnues car - 1 est plus intéressant que - 15.

  L'ordre sera x , z , y.

  On obtient:

 /  1   1     3  |  8  \
|  -1  -15 |  -31   |
 \ 0  -8  -13 |  -34  /

       Puis  L2 ← - L2

 /  1   1     3  |  8  \
|   1   15 |   31   |
 \ 0  -8  -13 |  -34  /

     est le second pivot.     

  L3 ← L3 + 8 L

On obtient  :

 /  1   1     3  |  8  \
|   1   15 |   31   |
 \ 0   0  107 |  214  /

    L3   donne     107 y = 214

    Donc y = 2

    Puis  L donne 

    z + 15 y = 31

   Donc  z = 31 - 15 y = 31 - 30 = 1

              z = 1

     Enfin Ldonne    x + z + 3 y = 8

    Donc   x = - z - 3 y + 8 = - 1 - 6 + 8 =  1

               x = 1

  Conclusion : S = { ( 1 ; 2 ; 1 ) }