INFO DV n° 5 EX 7 DERIV 1S

INFO   DV N°5     EX 7               DERIVATION               1S1          13 DEC. 08

 

   1.a.    Montrons que AE = x .           ( x >= 0 )

 

 

                      Par hypothèse  A est le barycentre des points pondérés

                      ( D , x ) et ( E , 1 ) . 

                      C'est possible car    x + 1 ≠ 0 .

                       Ainsi:           x vect( A , D ) + 1 vect( A , E ) = vect. nul

                      c-à-d             vect( A , E ) = - x vect( A , D )

                       D'où            AE  = I - x  I  × AD

                      Mais   AD = 1 et  x est un réel positif.

                      Donc    AE = x

            Conclusion:   AE = x

                  b. Etablissons que AI = ( x - x² ) / ( x + 1 ).

                      Remarquons que pour x = 0 on a bien l'égalité

                      puiqu' alors  E = A  = I

                      L'égalité s'écrit 0 = 0 . Elle est donc vraie.

                      Plaçons nous donc dans le cas non trivial avec x positif non nul.                      

                     Utilisons une configuration de THALES.

                     En effet :

                     Les droites  parallèles ( AB )  et ( DC ) sont coupées par deux

                     droites sécantes ( ED ) et ( EF ).

                   On a :   AI / DF  = EA / ED

                  c-à-d     AI = EA × DF / ED

                    Mais     EA = x     FC = x

                      DF  = DC - CF  = 1 - x    et   ED = EA + AD = 1 + x.

                  D'où            AI = x ( 1 - x ) / ( 1 + x )

                 Conclusion :       AI = ( x - x² ) / ( x + 1 )

                2. Cherchons x pour que AI soit maximale.

                      Soit  la fonction f : x →  ( x - x² ) / ( x + 1 )

                       sur IR+  .

                      Soit les fonctions   u : x → x - x²  et    v : x → x + 1 .

                       u et v sont définies et dérivables dans IR+ .

                       v est non nulle dans IR+ .

                       f = u / v

                      Ainsi la fonction u / v  , c-à-d  f , est définie et dérivable

                      dans IR+ .

                      On a    f ' = (  u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                      On :       u ' : x → 1 - 2 x 

                                     v ' : x → 1  

                       Soit x dans IR+ .

                      On a :   f ' ( x ) = ( ( x + 1) ( 1 - 2 x )  - ( x - x² ) 1 ) / ( x + 1 )²

                     c-à-d       f ' ( x ) = ( - 2 x² - x + 1  -  x + x² ) / ( x + 1 )²

                       c-à-d      f ' ( x ) = ( - x² - 2 x + 1 ) /  ( x + 1 )²

                      Comme ( x + 1 )² > 0 pour tout x dans IR  , f ' ( x ) est du signe

                      du numérateur - x² - 2 x + 1.

                         Δ' = b' ² -  ac     avec   b' = - 1

                         Δ = ( - 1 ) ² - ( - 1 ) (  1 ) = 1 + 1 = 2

                         Δ > 0

                        Les racines dans IR seraient :

                        ( - b' - √Δ '  ) / a   =  ( 1 - √2 ) / ( - 1 )  = - 1 + √2

                       ( - b' +√Δ '  ) / a   =  ( 1 + √2 ) / ( - 1 )  = - 1 -  √2

                        Sur  IR+    on retiendra la racine positive   √2  - 1

                       Faisons le tableau de variation de f.

x 0                                     √2  - 1                                               + ∞
f ' ( x )             +                             0                         -
f ( x )             ↑                   f (   √2  - 1   )               ↓

                      On constate que f '( x ) s'annule en changeant de signe en x = √2  - 1   .

                       f ' ( x ) > 0   pour    0  = <  x < √2  - 1       

                       f ' ( x ) <  0    pour  √2  - 1   < x

                       F admet un maximum  en  x = √2  - 1   . sur  IR+   

                   Conclusion :   AI est maximale  pour x = √2  - 1  

             3. Trouvons l'aire du triangle rectangle EAI.

                  x( x ) = AI × EA / 2

                 Donc    a( x ) = ( 1 / 2 ) (  x ( x - x² ) ) ( x + 1 )  = ( 1 / 2 ) ( x - x3  )  / (  x + 1 )

                Conclusion:     a( x ) = ( 1 / 2 ) ( x - x3  )  / (  x + 1 )

              4. Trouvons x pour que a(x ) soit maximale.

                  Pour cela étudions les variations de la fonction a .

 

 

                        Soit les fonctions   u : x →  x - x3    et    v : x → x + 1 .

 

                       u et v sont définies et dérivables dans IR+ .

                       v est non nulle dans IR+ .

                       a  = u / v

 

                         Ainsi la fonction u / v  , c-à-d  a , est définie et dérivable

                      dans IR+ .

                      On a    a ' = (  u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                      On :       u ' : x → 2 x - 3  x

                                     v ' : x → 1  

                       Soit x dans IR+ .

                   On a :   a ' ( x ) = ( 1 / 2 ) ( ( x + 1) ( 2 x - 3  x )  - ( x - x3  ) 1 ) / ( x + 1 )²

                     c-à-d       a ' ( x ) = ( 1 / 2 ) ( 2 x - 3  x + 2 x2   - 3 x3  - x +x3  ) / ( x + 1 )²

                       c-à-d      a ' ( x ) = ( 1 / 2 ) (  - 2x3   - 2 x2   + 2 x   ) / ( x + 1 )²

                  c-à-d     a ' ( x ) =  (  - x3   - x2   + x  ) / ( x + 1 )²

                     c- à - d   a ' ( x ) = x ( - x² - x + 1 ) /  ( x + 1 )²

                      Comme  ( x + 1 )² > 0  pour tout x dans IR  , 

                      a ' ( x ) est du signe de - x² - x + 1  pour tout x dans IR+.

                        Δ = b² - 4 ac          Δ = = ( -1 ) ² - 4 ( - 1 ) (  1 ) = 5        Δ > 0

            Dans IR les racines de - x² - x + 1  seraient   : 

                     ( - b - √  Δ ) / 2 a   =( 1- √ 5 ) / ( - 2  ) = ( √ 5 - 1 ) /  2  

                     ( - b + √  Δ ) / 2 a   = ( 1 + √ 5 ) / ( - 2 ) = ( - √ 5 - 1 ) /  2                          

 

      

x 0                          ( √5  - 1 ) / 2                            + ∞
a '( x ) 0       +                       0                           -
a( x )        ↑                 a( ( √5  - 1 ) / 2  )                   ↓

                       a '( x ) s'annule en changeant de signe en x = ( √5  - 1 ) / 2    

                      Ici  la fonction a admet sur IRun maximum en x = ( √5  - 1 ) / 2    

           Conclusion:     a( x ) est maximum quand x =  ( √5  - 1 ) / 2 


                     

 

 


 

 EX.7