MATHS . EXPERT 15 Février 2022
LES SUITES COMPLEXES RECURRENTES
EXEMPLE D’ ACTIVITE .
Soit la suite récurrente complexe ( Zn ) définie sur IN par :
Z0 = 0
Zn+1 = i Zn – 4 pour tout n dans IN
On veut disposer directement de la forme algébrique de Zn en fonction de n,
en distinguant les cas, n pair , n impair .
Pour cela on introduit deux suites réelles ( an ) et ( bn ) telles que
Zn = an + i bn pour tout n dans IN
L’objectif final est donc de trouver an et bn en fonction de n, suivant la parité de n.
1. Exprimer Zn+1 en fonction de an et bn.
2. Ecrire Zn+1 en fonction de an+1 et bn+1.
3. En déduire an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.
4. Soit le nombre complexe particulier W = – 2 – 2 i.
On considère la suite auxiliaire complexe ( Un ) définie sur IN par :
Un = Zn – W pour tout n dans IN.
a. Indiquer U0.
b. La suite ( Un ) est-elle géométrique ? arithmétique ?
c. En déduire Un en fonction de n.
5. Exprimer alors Zn en fonction de n.
6. Quand n est pair, c’est-à-dire, quand n s’écrit sous la forme 2p
où p est dans IN, donner la forme algébrique de Zn en fonction de n.
Quand n est impair, c’est-à-dire, quand n s’écrit sous la forme 2p + 1
où p est dans IN, donner la forme algébrique de Zn en fonction de n.
7. Exprimer an et bn en fonction de n suivant la parité de n.
8. Cas particulier : n = 50
Vérifier à l’aide des formules trouvées que :
Z50 = – 4 – 4 i
9.Falcultatif: Le plan est muni d’un repère orthonormal direct d’origine O.
Soit les points Mn+1 et Mn d’affixes respectives Zn+1 et Zn .
Soit le point A d’affixe ZA = – 2 ( 1+ i )
Montrer que le point Mn+1 ( Z n+1) est l’image du point Mn( Zn ) par
la rotation r de centre A et d’angle ∏/ 2 .
Info : La rotationr r de centre A et d’angle ∏ / 2 est de traduction complexe
Z ‘ – ZA = i ( Z – Z A ) avec le point M’( Z ‘ ) qui est l'image du point M ( z )
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