LISTE 2 D'EX. DERIVATION Nov. 08 1S
EX.3 Soit f une fonction définie dans un intervalle I contenant le réel a.
On admet que f est dérivable en a , c-à-d que ( f( a + h ) - f( a) ) / h admet une limite finie
notée f ' ( a ) quand h tend vers 0.
Soit la fonction φ définie pour tout réel h tel que a + h soit dans l'intervalle I
de la façon suivante:
• Si h = 0 alors φ( h ) = 0 .
• Si h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) alors φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)
1. Que peut-on dire de la limite de φ( h ) quand h tend vers 0?
2. Pour h = 0 a-t-on f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
3. Pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) a-t-on f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
4. Conséquence: Peut-on affirmer qu'il existe bien une fonction φ définie au voisinage de 0,
de limite nulle en 0 et telle que pour tout réel h avec a + h dans I on ait :
f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
5. Dans l'affirmative peut-on écrire f( a + h ) ≈ f( a ) + h f '( a ) pour le réel h très voisin de 0?
6. Soit dans un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) le point A ( a , f( a ) ).
Soit le point M ( a + h , f( a + h ) ).
Soit le point H( a + h , f( a )) .
Faire le triangle AHM ( pour h strictement positif très proche de 0 ).
a. Montrer qu'une valeur approchée théorique de HM est I h f '( a ) I .
b. Soit T: y = f '( a ) ( x - a ) + f( a ) la tangente à la courbe de f au point A.
Elle coupe la droite ( H M ) en un point N.
Montrer qu'une valeur approchée de NM est I h φ( h ) I .