INFO TEST EX de bac donné le 8/2/14

                INFO      TEST   EXERCICE DE BAC                       8 février 2014             TS   40 mn   

             EXERCICE :

                 On dispose de deux urnes U1 et U2 .

      L'urne U1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges, toutes indiscernables au toucher.

     L'urne U2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges, toutes indiscernables au toucher.

           Urnes

 

            Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une billle de l'urne U1  , noter sa couleur

           et la remettre dans l'urne U1 , puis à tirer au hasard une bille de l'urne U2 , noter sa couleur et

           la remettre dans  l'urne U2 .

          A la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gagne un lecteur MP3.

          S'il a tiré un bille verte, il gagne un ours en peluche.

          Sinon il ne gagne rien.

          On note V1  l'événement " Le joueur  tire une bille verte dans  U1 "; V2 l'événement 

            " Le joueur  tire une bille verte dans  U2 ".

            Les événements V1 et V2 sont indépendants.    

  1.  Montrer, à l'aide d'un arbre pondéré, que la probabilité de gagner unlecteur  MP3 est p = 0,06.

           Nous voulons pour cela  trouver  P( V1 ∩ V2  ).

        • Pour le tirage d'une boule de l'urne U1 on est dans une situation d'équiprobabilité.

          Comme il y a 2 billes vertes parmi 10 billes la probabilité de tirer une bille verte de l'urne U1 est

          est 2 /10.

            Donc      P ( V1 ) = 2 / 10     =  0,2     

            •Pour le tirage d'une boule de l'urne U2  on est dans une situation d'équiprobabilité.

            Comme il y a 3 billes vertes parmi 10 billes la probabilité de tirer une bille verte de l'urne U2 est

              est 3 /10.

            Donc      P ( V2 ) = 3 / 10   = 0,3

                      Arb256

         • Nous voulons calculer P(V1 ∩ V2  ).

               Mais les événements  V1 , V2  sont indépendants.

                   Ainsi :      P(V1 ∩ V2  ) =   P ( V1 )  ×   P ( V2 ) 

              Donc:        P(V1 ∩ V2  ) =  0,2 × 0,3 = 0,6

                Conclusion:  La probabilité d'avoir deux boules vertes est 0,06.

    2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

                Nous voulons calculer pour cela :

                   Prbcher

               Comme les événements 

                 Prbcher1

                    sont   incompatibles  on a :

               Prbcher2       

               Comme  les événements 

                                  Vv

                 son indépendants les événements 

                       Vv2

                 le sont aussi.

                      Donc : 

             Vv23

       De la même façon  comme  les événements 

                                  Vv

                 son indépendants les événements 

                         Vvvv

              le sont  aussi:

           Ainsi :

         Vvvv5

            Finalement :

                      Df478

          Conclusion:   La probabilité de gagner un ours est 0,38 

           Arb2567            

    3. Vingt personnes jouent chacune une partie 

       déterminer la probabilité que deux d'entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

         On justifiera la réponse et on donnera la valeur approchée à 1- 40 près.

           Désignons par X la v.a.r. qui aux 20 joueurs associe le nombre de gagnants d'un MP3.

               Nous voulons trouver P ( X = 2).

               L'expérience revient à répéter à l'identique de façon indépendante une épreuve de Bernoulli

              dont les issues sont  "gagné " ,  " pas gagné " avec 0,06 la probabilité de "gagné".

              X  est alors une v.a.r.  de loi binômiale B ( 20 ; 0,06 ).

               Le valeurs prises par X sont:  0 , 1 , 2 , ..... , 20.

               On a :

              Lob

              Donc   avec la précision de 10- 4  

              A22n

         Conclusion:

               La probabilité que deux joueurs exactement gagnent  un MP3 est

                    environ:   0,2246.

     4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie

         un jour donné et jouant une seule fois.  On note pn la probabilité que l'une au moins

       de ces personnes gagne un lecteur MP3.

       Déterminer la plus petit valeur de n vérifiant  pn ≥ 0,99 .

        Il y a maintenant  n joueurs.

        Désignons par Y le nombre de joueurs gagnants parmi ces n joueurs.

        Soit      pn = P( Y ≥ 1 ) .

         Déterminons l'entier n  le plus petit tel que    pn ≥  0,99.

          On a :    P( Y ≥ 1 )  =  1  -  P( Y = 0 )

        Ainsi on a :         pn =   1  -  P( Y = 0 )

          L'inégalité    pn  ≥  0,99  s'écrit  :

                           1 - P ( Y = 0) ≥  0,99

      c-à-d  

                            1- 0,99   ≥  P ( Y = 0)

      c-à-d   

                           P( Y = 0 ) ≤  0,01

         Mais  ici on répète n fois une épreuve de Bernoulli 

         dont les issues sont " gagné " , " pas gagné "  avec 0,06 la probabilité de " gagné".

             Y désigne le nombre de " gagné".

            Y est donc de loi binômiale  B( n ; 0,06 ).

            On a :

               F78m

          Ainsi  l'inégalité  pn  ≥  0,99   se traduit par :    0,94n    ≤ 0,01

           Comme   0,01 > 0  et    0,94 >0   et  ln croissante sur l' intervalle ] 0 , + ∞ [

              on a:     ln( 0,94n  )  ≤  ln (  0,01   )

    c-à-d

               n ln( 0,94 ) ≤ ln( 0,01 )

       Mais     ln( 0,94 )  < 0    sachant    0 < 0,94 < 1

    Donc:     

                     Z47r5

      Le premier entier n qui convient est donc 75.

     Conclusion :    Il faut donc au moins 75 joueurs pour que la probabilité

                               d'avoir au moins un joueur gagnant soit d'au moins 99 %.

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