INFO QUESTIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES

                QUESTIONS  SUR LES NOMBRES COMPLEXES.                TS  Oct 2013

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

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   Question 1:

            Quelle est la forme algébrique de 

                                quot.png         ?

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     REPONSE:

             On a :           z = ( 1+ i √3 ) / | 1 - i √3 |2  

        c-à-d

                             z =  ( 1 + i √3 )/ (12 +  (-√3 )2  )

       c-à-d   

          Conclusion:          z =  1 / 4  + i √3  / 4

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           Question 2: 

          Quelles sont les formes trigonométrique et exponentielle de

                                   quot.png         ?

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  REPONSE :

            On a :  

                        nbcopm.png  

          On a :     | z  | = ( 1 / 2 ) × | 1 / 2  + i √3  / 2 |

          Or    | 1 / 2  + i √3  / 2 | = 1       car √ ( ( 1 / 2 )2 +  ( √3  / 2 )2   ) = 1

          Donc | z | = 1 / 2

          Il nous suffit de mettre 1 / 2  + i √3  / 2    sous la forme trigonométrique.

             Donc  son module est 1.

             Cosidérons :

                cos θ  = ( 1 / 2   ) / 1 = 1 / 2 

               sin  θ  =  ( √3  / 2 ) / 1 = √3  / 2

              Sur le cercles trigo.  le point de coordonnées (1 / 2  ,√3  / 2 )

              correspond à    θ  = π / 3   ( 2 π )

           Ainsi :      1 / 2  + i √3  / 2   = 1 ( cos ( π / 3 )   + i sin ( π / 3 ) )

                  D'où    finalement:

             Conclusion :    z = ( 1 / 2 ) ( cos ( π / 3 )   + i sin ( π / 3 ) )

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          Question 3

             Quelle est l'affixe du point M( 2 ; 3 ) ?

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   REPONSE :

               Conclusion : z = 2 + 3 i  

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      Question 4 :

                 Soient les points A( 1 + i ) et B( 3 - 2 i ).

                • Quelle est l'affixe du vecteur

                                           vectab.png    ?

                •Quelle est l'affixe du vecteur

                                          3vectab.png  ?

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   REPONSE :

                     •  L'affixe du vecteur vectab.png   est:

                         zB - zA = 3 - 2 i - ( 1 + i ) = 2 - 3 i

                   Conclusion :  c'est 2 - 3 i  

                          • L'affixe du vecteur  3vectab.png  est le triple de 

                             celle du vecteur vectab.png.

                  Conclusion :    L'affixe du vecteur   3vectab.png

                            est 6 - 9 i .

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          Question 5:

                    soit  z  un nombre complexe quelconque.

                 •  Montrer que i  et - i sont des  racines du polynôme  P( z )

                     tel que  P( z ) = z3  +  3  z2  + z + 3

                    • Que  peut-on en déduire ?

                    • Soit z = a + i b .

                      Donner les parties réelle et imaginaire de P( z ) en fonction de a et b

                    • Calculer P( -  3 ).

                      Le polynôme  P ( z ) admet -il une racine réelle?                    

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         REPONSE:      

                  •  On a   :

                        P( i ) = i3  +  3  i2  + i + 3 

             c-à-d

                       P( i ) = i × i2  +  3 ( - 1 )  + i + 3                 

            c-à-d

                       P( i ) = i ×( - 1 )  +  3 ( - 1 )  + i + 3 

             c-à-d

                              P( i ) = - i - 3 + i + 3

                      c-à-d

                    Conclusion :    P( i ) = 0   

              De la même façon P( - i ) = 0

                    En effet:                     

                On a   :

                        P(-  i ) = ( - i )3  +  3 ( -  i )2   - i + 3 

             c-à-d

                       P( - i ) = -  i × i2  +  3 ( - 1 )   - i + 3                 

            c-à-d

                       P( -  i ) = - i × ( - 1 )  -  3   -  i + 3 

             c-à-d

                    P( - i ) = i - 3 - i  + 3

               Conclusion:    On a bien  :   P( - i ) = 0     

             •  On peut dire que P( z ) est factorisable par   ( z - i ) ( z + i ).

                 Mais:      ( z - i ) ( z + i ) =   z2 - i2    =  z2 + 1

                   Conclusion :   P( z ) est factorisable par   z2 + 1

            •     Posons   z = a + i b   ( forme algébrique )

                     On a :  P( z ) = ( a + i b )3 + 3( a + i b )2 + ( a + i b ) + 3

                   Ainsi :

   P( z ) = a3   + 3 a2  i b  + 3 a i2 b2 + i3  b3   + 3 ( a2  + 2 a i b + i2  b2 ) + a + i b + 3

     c-à-d 

  P( z ) =  a3   + 3 a2  i b  - 3 a  b2 - i  b3   + 3  a2  + 6 a i b - 3 b2  + a + i b + 3

     c-à-d

  P( z ) =    a3   +  3  a2   - 3 a  b2  - 3 b2 + a + 3  +  3 a2  i b - i  b3  + 6 a i b   + a + i b 

     c-à-d

    P( z ) =   a3   +  3  a2   - 3 a  b2  - 3 b2  + a + 3   +  i (  3 a2 b -   b3  + 6 a  b +  b )

               Donc 

        Conclusion :

                Re( P( z ) ) =   a3   +  3  a2   - 3 a  b2  - 3 b2  + a + 3

                Im( P( z ) ) =   3 a2 b -   b3  + 6 a  b +  b

             •  f( - 3 ) =  ( - 3 )3 + 3 ( - 3 )2 - 3 + 3 

             c-à-d

              f( - 3 ) = - 27 + 27 - 3 + 3 = 0

            Conclusion: Oui - 3 est aussi une racine rélle du polynôme  P( z).      

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