INFO 2 EX BAC 2008 LIBAN Série S

        INFO 2 sur l' exercice de bac S LIBAN  sur les suites .    TS         

  Partie C

        On considère la suite ( u n ) définie sur IN par u0 = 1 , et pour tout entier naturel n :

                un + 1 = f( un )    

          1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite ( un )

             en laissant apparents les traits de construction( Utiliser le graphique donné )

                  web47-1.gif

           2. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de

                variation de la suite ( un ) et son comportement lorsque n tend vers + ∞ ?  

            Réponse:

                      On peut conjecturer que la suite est croissante sur IN 

                      en remarquant la disposition croissante des termes sur l'axe

                      des abscisses.

                     De plus on peut conjecturer que la suite diverge vers + ∞

                     en remarquant que la courbe ( C ) d'équation y = f( x ) et la droite

                     d'équation y = x  "s'éloignent l'une de l'autre " quand l'abscisse

                     tend vers + ∞.

           3. a. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier 

                     naturel n ,  un  ≥ 1.

                       • n = 0

                              u0 = 1    Donc  un  ≥ 1   est vrai pour n = 0

                      • Soit n dans IN quelconque.

                        Montrons que si   un  ≥ 1   alors  un + 1  ≥ 1

                          Considérons     un  ≥ 1

                          Or f est croissante sur l'intervalle [ 0, + ∞ [

                           Donc           f( un )  ≥  f( 1 )

                       c-à-d  

                                            un + 1   ≥ ln 2  + 0,5

                            Or      ln 2  + 0, 5  ≈ 1,19

                                      et      1,19 ≥ 1

                      D'où               un + 1   ≥ 1

                      Conclusion : La suite (  un ) est bien minorée par 1 sur IN.

               b. Montrer que la suite est ( un ) est croissante .

                   Pour cela montrons par récurrence que:

                        un  ≤ un + 1  pour tout n dans IN

                  • n  = 0 

                        On a :    u0 = 1   et      u1  ≈ 1,19

                                            1 ≤ 1,19

                      Donc   un  ≤ un + 1   est vrai pour n = 0

                   •  Soit n dans IN quelconque.

                     Montrons que si   un  ≤ un + 1  alors  un+1  ≤ un + 2

                     Considérons    1 ≤ un  ≤ un + 1 

                     On sait que f est croissante sur l'intervalle [ 0 , +  ∞ [

                      Donc          f(  un  )  ≤  f( un + 1 ) 

                      c-à-d               un+1   ≤  u n + 2 

                       Conclusion :  La suite ( un ) est bien croissante sur IN 

              c. Montrer que la suite ( un ) n'est pas majorée.  

                       Dans la question 3 de la partie C  il est dit:

               << On admet que, sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ , la courbe ( C ) est au dessus

                     de la droite ( T ) >>

                  " au dessus "   veut dire  "strictement "   au dessus .

                Ainsi on sait que :

                                 f( x ) > x  pour tout x dans  ] 0 , + ∞ [       ( 1 )

              Raisonnons par l'absurde.

               Supposons que la suite soit  majorée puis cherchons

               une contradiction .

              • La suite est alors croissante et majorée sur IN donc converge 

               vers un réel L . De plus  comme elle est minorée par 1 on a  L ≥ 1 .

                 Comme f( x ) tend vers f( L ) quand x tend vers L.

                ( On dit que f est continue en L )

                 Pour n très grand l'égalité     un + 1   = f( un  )

                 se traduit par      L = f( L )

               • Deplus comme L  ≥ 1  on a L dans ] 0 , + ∞ [

                 Ainsi en remplaçant x par L dans l'inégalité ( 1 )  on a   f( L ) > L.

                    Contradiction 

                     Conclusion: La suite n'est pas majorée sur IN

               d. En déduire la limite de la suite ( un ).

                      La suite (  un ) étant croissante et non majorée

                      elle diverge vers  +∞.

              Conclusion :    lim un   = +∞

                                      n → +∞

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