4.COURS Résumé SUITES TS sept 2012

                           COURS     Résumé        Suites                   TS sept 2012

             

          -IV- AUTRES DEFINITIONS.

                 1.Limite finie d'une suite.

                   Soit la suite ( un ) définie sur [[ n, +∞ [.

                   Soit L un nombre réel.

                      Les affirmations suivantes sont équivalentes:

                     •  lim un    = L

                          n → +∞ 

                     •  Tout intervalle ouvert qui contient L contient tous les termes 

                        de la suite ( un ) à partir d'un certain rang.

                   2. Exemple basique.

                       Soit la suite ( un ) définie sur IN*  de terme général  un  = 1/ n                    

                          lim un    = 0

                            n → +∞ 

                      Justification :

                        Soit deux réel ω et  θ quelconques  tels  ω < 0  et  θ > 0  .

                      Considérons l'intervalle ouvert ] ω ,  θ [.  Il contient 0.

                      Cherchons alors un entier naturel n' non nul tel que 

                            pour tout entier n ,   n ≥ n'    =>  ω <  1 / n  <  θ

                       Considérons   ω <  1 / n  <  θ 

                       ω <  1 / n  sera toujours vrai  car  ω < 0  et 1 / n > 0 sachant n dans IN*.

                     ω <  1 / n  <  θ  se résume donc à   1 / n  <  θ  c-à-d    1 / θ  < n

                    c-à-d    n > 1 / θ .

                   Nous voulons n ' dans IN* tel que :   n ≥ n'    =>  n > 1 / θ

                     Il suffit de prendre l'entier non nul n'   tel que n' > 1 / θ

                   Prenons par exemple n ' = E( 1 / θ ) + 1    On peut prendre n ' plus grand.

               n ≥ n'     et   n ' = E( 1 / θ ) + 1  et   E( 1 / θ ) + 1 > 1 /  θ  donnent bien n ≥ 1/ θ

           Conclusion: Le résultat est prouvé.