Aide:Activ. prépar.Leçon1 1S

           AIDE  pour les activités 1 et 2 préparatoires de la Leçon 1 sur les fonctions.

    Classe de 1S1                                                             9 Septembre 2009

        Activité 1       ( http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp

                               peut être utilisé pour visualiser les courbes.)

                       L'aide est en bleu.

                 1. Soit la fonction f : x → ( x + 1 ) 2  -  4 définie sur l'ensemble

                     des nombres réels.

                      a. Factoriser f ( x ).

                         ( On peut utiliser une égalité remarquable:    a² - b² = ( a - b ) ( a + b )   )

                      b. Résoudre dans l'ensemble des réels, l'équation :   x2  + 2 x  - 3 = 0  .   ( 1 )

                          (   x2  + 2 x  - 3   sera mis sous la forme factorisée en utilisant ce qui précède. )

                      c. Représenter dans un même repère orthogonal ,

                         ( 2 cm en abscisse ; 0, 5 cm en ordonnée. ),

                         les courbes des fonctions g : x → x2  et   h : x → - 2 x + 3.

                         En déduire une résolution graphique de  ( 1 ).

                            ( Les point communs éventuels aux courbes de g et h

                              ont des abscisses qui vérifient g( x ) = h( x ). Comparer cette

                             égalité avec ( 1 ) .  )

                    d. Représenter, dans un repère orthogonal identique ( O ; vect(i), vect(j) ) , 

                         les courbes des fonctions g et  f.

                         ( La courbe de f est une parabole . On  peut prendre des points et ainsi tracer

                           la parabole. Plus judicieusement cette parabole peut se déduire de la

                          parabole basique qui représente g. )

                         Pour cela dire la transformation qui permet d'obtenir la courbe de f  à

                         partir de celle de g .

                           (  On pourra constater que f( x ) = g( x + 1 ) - 4 pour tout réel x.

                              c-à-d    f(x ) = g( x - ( - 1 ) ) - 4   pour tout réel x.  )

                               Information:

                                Soit a et b deux réels.

                                Soit p une fonction définie dans un domaine D.

                                La courbe de la fonction q : x→ p( x- a ) + b  est                               

                                l'image de celle de p par la translation de vecteur : 

                                a vect(i) + b vect(j).

                          En déduire une nouvelle résolution graphique de  ( 1 ).

                           (  Comme on dispose de la courbe de la fonction f , il est

                              possible de résoudre graphiquement f( x ) = 0 . )

                    e. Soit k ( x ) = a x2 +b x + c    avec a , b , c  trois réels  et a non nul.

                        Comment , si possible, peut-on amorcer une factorisation pour

                        k (x ) ?  

                                (  a est non nul.

                           On peut donc factoriser a. C'est la première chose à faire.

                            x² +(  b / a ) x  est le début de x² + 2 ( b / ( 2 a ) ) x +  b² / ( 4a² ) .

                           Il est donc possible de remplacer   x² +(  b / a ) x  par

                            ( x + ( b / ( 2 a )  )² -  b² / ( 4a² ) .

                            Ensuite on peut grouper   -  b² / ( 4a² ) et  c / a  en réduisant au même

                              dénominateur.   Une factorisation est éventuellement possible

                            quand b² - 4 ac >=0 . ) )

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        Activité 2.

               L'aide est en bleu.

                 1. Les fonctions  f : x→ x + 1  et  g :x → ( x2 - 1) / ( x - 1) sont-elles égales ?

                      On rappelle que deux fonctions  f et g sont égales quand

                       les deux conditions suivantes sont respectées:        

                                                            Même domaine de définition  D.

                                                             f ( x ) = g ( x )     pour tout x dans D .

                    (  Comparer déjà les deux domaines de définition. )

                  2. Soit la fonction  u : x→  x² - 4   . Donner son sens de variation sur l'intervalle 

                     des réels positifs ou nuls.

                        ( On pourra s'aider de celui de la fonction de base x→  x²  . )

                  3. Soit la fonction  w : x→  1/( x+ 1)   . Donner son sens de variation sur l'intervalle

                      des réels supérieurs  à - 1.

                        RAPPEL:   Soit une fonction f définie dans un intervalle I.

                         • La fonction  f  est croissante strictement sur un intervalle I

                            quand :

                                      Pour tout a et tout b dans I ,    a < b  implique   f ( a ) < f ( b ).

                            La fonction  f  est décroissante strictement sur un intervalle I

                              quand :

                                       Pour tout a et tout b dans I ,    a < b  implique   f ( a ) >  f ( b ).

                 ( On peut utiliser ce rappel.)

                 4. Soit les fonctions   u : x→  x² - 4   et  v : x→  x +  1 .

                     a. Déterminer la fonction composée:  v o u .

                        ( Le symbole o mis entre les deux fonctions est une simple notation.

                    Il s'agit d'un enchaînement de deux fonctions: u d'abord puis v ensuite.

                                x→  x² - 4 

                                          X  →  X  +  1 .   

                     Donc    x ————→   ?                            

                     b. Donner les tableaux de variations de u , v , v o u .

                         (   Ceux des fonctions u et v sont basiques. Celui de v o u

                             peut se déduire de celui de la fonction de base  x→  x² . )

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