INFO EX 3 bac S 21 juin 2017

                   INFO     EX 3   Baccalauréat   S  21  JUIN 2017     Métropole

      EXERCICE 3                             5 points
                                         Commun à tous les candidats

      Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire
      une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services
      météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus
      rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.
        Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
        L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

                   Fig2048
              Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentrique 

             correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent
             dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur.
             De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire,
             nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

            L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et
            un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est
            situé dans le secteur B3.
            On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère
            orthonormé 
Re789  de la manière suivante :
            • l’origine O marque la position du capteur ;
            • l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;
            • l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
            • l’unité choisie est le kilomètre.
            Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe z.
           
      PARTIE A

          1. On note zl’affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent.
             On appelle r le module de zP et θ son argument dans l’intervalle ] −π ; π ].
             Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un
             encadrement correct pour r et pour θ (aucune justification n’est demandée) :

  Proposition A     Proposition B     Proposition C      Proposition D          

      40 < r < 60

           et    

   0 < θ < π / 4  

        20 < r < 40

            et    

       π / 2 < θ < 3π / 4     

    40 < r < 60

          et                  

    π/ 4 < θ < π / 2

       0 < r < 60

           et

   − π / 2 < θ < − π / 4

           REPONSE:

                  Proposition C  
           2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’affixe z. 
               Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :
                a.     z = 70 e − i π / 3 ;
                b.      z = − 45√3 + 45 i.

             REPONSE:

            a. Pour   z = 70 e − i π / 3        Le secteur est       G4    

             b.      z = − 45√3 + 45 i            Le secteur est    D5         
                      car  z = − 45√3 + 45 i  = 90 ( − √3 / 2 +  i / 2 ) = 90 e i 5π / 6

          Partie B
               On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d’affixe
                50 e i π/ 3 .
              En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact affiché ne donne qu’une 
              indication approximative du point d’impact réel de la foudre. 
              Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d’impact P d’affixe 50 e i π / 3 , l’affixe z du point
               d’impact réel de la foudre admet :
            • un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi
              normale d’espérance µ = 50 et d’écart type σ = 5 ;
            • un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi
               normale d’espérance π / 3 et d’écart type π / 12.
           On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c’est-à-dire que,
           quels que soient les intervalles I et J, les événements (M ∈ I) et (T ∈ J) sont indépendants.

              Dans la suite les probabilités seront arrondies à 10− 3 près.


           1. Calculer la probabilité P(M < 0) et interpréter le résultat obtenu.

               REPONSE:  z = M eiT   

              M est de loi normale N(50 ; 5 ).

                P(M < 0)  = normalcdf( −10^99,0,50,5)      avec       TI 84 +

              D'où :    P(M < 0) ≈ 0,000
              Interprétation:  La probabilité que le nombre complexe z soit de module

                                               strictement négatif est impossible.

                                               C'est évident  car OP est une distance.

           2. Calculer la probabilité P(M ∈]40 ; 60[).

                REPONSE:

                 P(M ∈]40 ; 60[) = normalcdf( 40,60,50,5)      avec       TI 84 +

                 D'où :    P(M ∈]40 ; 60[) ≈ 0,954             
                  Interprétation: La probabilité  que la foudre frappe dans la zone  3 est 0,955

           3. On admet que P( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ) = 0,819.    
              En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur

            B3 selon cette modélisation.  

                  REPONSE:

                   T est de loi normale  N(  π / 3 ; π / 12 ).

                   La foudre frappe  dans B3 se traduit par  ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ).

                 Considérons:   P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ))

                On a : P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ))=  P ( M ∈]40 ; 60[ ) × P ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )

                 car M et T sont indépendantes.

                  Ainsi :    P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )) ≈  0,955 × 0,819 

                 Donc :    P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )) ≈ 0,782 

                Conclusion: La foudre frappe en B3 avec une probabilité de 0,782

 

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       17MASSMLR1                                                                                    page 4-5