INFO LISTE1 PRO. SCA MARS 09

 INFO LISTE D'EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE           1S         MARS 2009

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     EX 0 .   On a les points A | 2 , - π / 4 ]   et B [1 , 7π /6   ]. 

                 On cherche l'angle orienté  ( vect OA ) , vect( OB ) ).

                  On a : ( vect OA ) , vect( OB ) ) = (  vect( OA ) ,  vect( i ) ) + ( vect( i ) , vect( OB ) )   d'après Chasles.

                 Donc :  ( vect OA ) , vect( OB ) ) = ( vect( i ) , vect( OB ) )  - (  vect( i ) ,vect OA ))

                 Donc     ( vect OA ) , vect( OB ) ) =    7π /6 - ( -  π / 4 )  | 2 π ]

               c-à- d        ( vect OA ) , vect( OB ) ) =  14π /12   + 3π / 12    | 2 π ]

            Conclusion :        ( vect OA ) , vect( OB ) ) =    17 π / 12   | 2 π ]

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       EX1 .  ABCD est un carré direct de centre O et de côté de longueur 4.

                  On veut les produits scalaires suivants:

                     vec( AB) . vect( BC )      :   vec( AB) . vect(CD )   ;    vec( AB) . vect(DO )

              

                •    vec( AB) . vect( BC ) = 0   car les deux vecteurs sont orthogonaux.

               •    vec( AB) . vect(CD ) =  - AB × CD   = - 4 ×  4 = - 16  car les deux vecteurs

                    sont colinéaires et de sens contraires.

                    vec( AB) . vect(CD ) = - 16

                •  vec( AB) . vect( DO )  = vec( AB) . ( 1 / 2 )  vec( AB) = ( 1 / 2 ) AB² = ( 1 / 2 ) 16 = 8

                   car le vecteur vect( DO ) se projette ortogonalement sur le vecteur  vect( AB )

                    suivant le vecteur  ( 1 / 2 )  vec( AB)

                    vec( AB) . vect( DO )  = 8

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   EX2         On dispose des points A ( - 2 ; - 2 )  , B ( 3 ; 1 ) , C ( - 1 : 2 ).

                 On veut  AB , AC  ,  vect( AB ) . vect( AC  ) , cos (vect( AB ), vect( AC  ) ) , BÂC .

                vect( AB ) est de coordonnées ( 5 ; 3 ).

               vec(AC)  est de coordonnées  ( 1 ; 4 ).

            Donc   AB = √ (  25 + 9 ) = √ ( 34 ) = √ (2 ) √ ( 17 )

                        AB = √ (2 ) √ ( 17 )

                       AC = √ (1 + 16 ) = √ ( 17 )

                     AC =   √ ( 17 )

                    vect( AB ) . vect( AC  ) = 5 ( 1  )   + 3 ( 4  ) = 17

                       vect( AB ) . vect( AC  )  = 17

                     vect( AB ) . vect( AC  ) = AB × AC cos ( vect( AB ) . vect( AC  ) )

                     Donc :

                    cos ( vect( AB ) , vect( AC  ) ) = (  vect( AB ) .vect( AC  )  ) / (  AB × AC )

                    c-à-d           cos ( vect( AB ) , vect( AC  ) ) =  17 /  ( √ (2 )  √ ( 17 )  √ ( 17 ) )

                   c-à-d       cos ( vect( AB ) , vect( AC  ) ) = 1 / √ (2 )  = √ (2 )  / 2

                                   cos ( vect( AB ) , vect( AC  ) ) =  √ (2 )  / 2               

                            En utilisant cos-1  (  √ (2 )  / 2 ) la calculatrice privilégie   π / 4 .

                          En fait on a besoin du signe de sin ( vect( AB ) , vect( AC  ) ). Comme l'angle  BÂC est aïgu

                          il est normal d'avoir BÂC = π / 4  radians .

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         EX   3 

                       1. On veut      vect( BC ) . vect( BA ) )

                              Le projeté orthogonal du vecteur vec( BA ) sur le vecteur vect( BC ) est ( 1 / 2 ) vect( BC ).

                             En effet le triangle ABC est isocèle en A.

                              Donc : vect( BC ) . vect( BA ) ) = vect( BC ) . ( 1 / 2 ) vect( BC ) )= ( 1 / 2 ) BC²

                              Or BC = 4 .

                              Donc     vect( BC ) . vect( BA ) ) = ( 1 / 2 ) 16 = 8 

                            vect( BC ) . vect( BA ) ) = 8 

 

                                2. On veut l'équation du cercle ( C ) de centre I( a , b ) et de rayon R.

                                       Soit le point M( x , y ) du plan.

                                        M  est sur ( C ) ssi IM = R

                        c-à-d        M est sur ( C ) ssi IM² = R²

                            Or        IM²  = ( x - a )² + ( y - b )²    sachant que ( x- a  , y - b ) sont les

                                         coordonnées du  vecteur vect( IM ) .

                          Ainsi :     M( x , y ) est sur ( C )   ssi  ( x - a )² + ( y - b )² = R²

                     Conclusion : ( C ) admet comme équation :   ( x - a )² + ( y - b )² = R².

                             3. On veut savoir si l'équation   x² + y² - 4 x - 2 y = 0  est celle d'un cercle.

                                On regarde si x² + y² - 4 x - 2 y = 0 peut se mettre sous la forme

                                 ( x - a )² + ( y - b )² = R².

                                x² + y² - 4 x - 2 y = x² - 4 x + y² - 2 y 

                                 On a les débuts de deux carrés parfaits.

                                x² + y² - 4 x - 2 y = ( x - 2 )² - 4  + ( x - 1 ) ² - 1 = ( x - 2 ) ² + ( y - 1 )² - 5

                                Donc  x² + y² - 4 x - 2 y = 0  s'écrit     ( x - 2 ) ² + ( y - 1 )² - 5 = 0

                                c-à--d   ( x - 2 ) ² + ( y - 1 )²  = 5

                                c-à-d  ( x - 2 ) ² + ( y - 1 )²  = ( √ 5  )²

                                 Conclusion . OUI   c'est l'équation du cercle de centre I(  2 , 1 ) et de rayon

                                  R = √ 5 

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